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Jusque dans les années 60, l’enseignement de la géométrie était celui d’une géométrie intuitive pour le primaire et le début du secondaire, portant sur des notions relatives à des figures planes et des solides. À 14 ans, les élèves abordaient une géométrie axiomatique. La discontinuité était importante entre les deux niveaux d’enseignement.

Fin des années 60, on a connu la réforme (ou révolution) des maths modernes. La géométrie s’est axiomatisée à tous les échelons et est devenue d’inspiration ensembliste. En plus de l’intérêt pour les fondements, on peut souligner le rôle majeur des transformations et une algébrisation importante.

Dans les années 70, l’enseignement reposant sur une étude rigoureuse des fondements est jugé abscons. On en revient aux figures et solides en gardant cependant les transformations. Mais la géométrie reste pauvre au primaire.

Aujourd’hui, on privilégie un enseignement en spirale. « Dans l’enseignement dit en ’en spirale’, chaque notion, chaque théorie vue une première fois à un niveau élémentaire et dans un contexte peu étendu est reprise et approfondie plus tard dans un contexte élargi, et ainsi plusieurs fois jusqu’à ce que, d’approfondissement en approfondissement et de généralisation en généralisation, elle arrive à maturité en établissant ses connexions naturelles avec les notions et théories voisines. »

Le CREM [1] a consacré une étude profonde à l’enseignement de la géométrie [2] dans cette perspective verticale.

La pensée géométrique

La première partie de l’ouvrage porte sur Les origines de la géométrie. Après avoir relevé les approches historique, ethnologique et psychologique (génétique), les auteurs [3] envisagent une quatrième voie en posant la question « Qu’est-ce qui provoque la pensée géométrique ? » Il s’agit d’une géométrie naturelle (le texte parle de lumière naturelle) qui part du terrain de l’élève, sur des questions simples, en se basant sur les premières évidences.

Quelles en sont les étapes ? Le premier point de vue est celui de la perception des objets. Quatre niveaux sont considérés : la constitution mentale des objets, la reconnaissance de la congruence et de la similitude, le passage de deux à trois dimensions, la relation de la géométrie avec le sentiment esthétique (au travers des symétries, par exemple).

Un second point de vue est celui des étapes de la conceptualisation. Il y a d’abord les préconcepts [4] qui se situent essentiellement au niveau de l’action et de l’intelligence des situations. Puis les objets mentaux [4] qui sont les concepts sur lesquels on s’appuie dans la vie quotidienne ou dans une pratique scientifique élémentaire. Et finalement il y a les concepts formels [4] inscrits dans une théorie axiomatique ample.

Un troisième point de vue est celui des objets géométriques classés du simple au complexe : les objets appréhendés à similitude près (constance de la forme), les formes libres à symétrie simple (comme le corps humain, par exemple), les formes simples à forte symétrie (disque, carré,…), les formes simples à symétrie modérée (rectangle, triangle isocèle,…), les objets géométriques complexes (quadrilatère, par exemple).

Le quatrième point de vue est celui du passage des objets mentaux aux inférences (explications, raisonnements,…). Plusieurs exemples illustrent l’extension de conclusions d’une figure à toutes celles de la même espèce, le chemin de l’évidence à la preuve.

Une géométrie naturelle

Une géométrie naturelle

La seconde partie de l’ouvrage montre, à partir de cinq thèmes, la construction d’une géométrie naturelle :
- 1. Perpendiculaires et obliques,
- 2. Trois segments,
- 3. Rectangles, cercles et angles,
- 4. Parallèles et angles,
- 5. Le théorème de Pythagore,
- 6. Parallèles et longueurs.

« La géométrie naturelle cherche à respecter deux principes, qui la distinguent des géométries constituées. Le premier est qu’elle n’exclut au départ aucun des moyens de connaissance et de pensée disponibles. […] Le deuxième principe qui complète le premier est qu’elle ne s’appuie au départ sur aucune connaissance non disponible au débutant. »

Après avoir montré comment les premiers éléments de géométrie peuvent se construire à partir des perceptions ainsi que des mouvements et des manipulations d’objets, la troisième partie de l’ouvrage illustre par des situations-problèmes un enseignement de la géométrie à partir de douze ans. Deux thèmes sont considérés : Assembler des figures et Figures en mouvement.

La quatrième partie du livre traite d’un sujet intimement lié à tout apprentissage géométrique, à savoir « Représenter les objets ». En effet, il n’y a pas de géométrie spatiale sans représentation plane et il n’y a pas de représentation plane sans savoirs géométriques.

La cinquième partie traite de Grandeurs, repérages et linéarité. L’idée de linéarité commence avec les premiers apprentissages mathématiques et suit l’élève jusqu’à la fin du secondaire.

La sixième partie traite de l’orientation, problème rencontré très tôt par les enfants dans leurs premières expériences de vie.

Comme cette recension a essayé de le montrer, on peut constater que l’ouvrage ne manque ni de matière à réflexion, ni d’outils, ni d’intérêt pour les enseignants de la maternelle jusqu’à la fin du secondaire. Un autre volume, qui développe des matériaux pour les classes, lui fait suite [5].

notes:

[1CREM : Centre de recherche sur l’enseignement des mathématiques, Rue Emile Vandervelde 5, 1400 Nivelles. Tél. : +32.67.21.25.27. Le CREM est constitué d’enseignants et de chercheurs. Il dispose d’un centre de documentation parmi les mieux fournis en Communauté française et cela, pour tous les niveaux d’enseignements. Il est conseillé de téléphoner avant de s’y rendre pour être sûr d’y trouver quelqu’un.

[2CREM, Formes et mouvements (Perspectives pour l’enseignement de la géométrie). Vendu par le CREM au prix de 12,40 euros, l’ouvrage est également disponible sur l’internet, à l’adresse http://www.agers.cfwb.be.

[3Les coordonnateurs de l’étude sont Luc Lismont et Nicolas Rouche.

[4Prenons un exemple, celui du rectangle. 1. Préconcept : reconnaitre, plier, paver, assembler, déformer ; 2. objet mental : propriétés comme parallélisme, égalité, angles, diagonales, médianes ; 3. concept : définitions, démonstrations comme droites, parallélisme, perpendicularité.

[5CREM, Construire et représenter (Un aspect de la géométrie de la maternelle jusqu’à dix-huit ans). Vendu au CREM également pour la somme de 14,70 euros.