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Notre système d’écriture des nombres n’est ni simple, ni naturel. Même une fois leur scolarité finie, nombreux sont ceux qui n’y sont pas encore entrés avec assurance. La preuve...

En écriture romaine, le symbole X désigne un nombre de façon univoque, c’est dix. Tandis que dans notre numération, le symbole 6 n’exprime pas la même valeur dans les écri- tures 364, 634 et 436. Comment ça marche ?
Au départ, il y a des regroupements. Si on dénombre un tas d’allumettes, par exemple, on commence par faire des tas de dix ou des dizaines, qu’on entoure d’un élastique.
Quand on a ainsi groupé toutes celles qui pouvaient l’être et qu’il reste des allumettes, cela correspond au chiffre des unités. Ensuite on fait des boites compre- nant chacune dix paquets entourés d’un élastique, ce sont des centaines. Après avoir constitué toutes les boites possibles, on note ce qu’il reste, cela correspond au chiffre des dizaines. On regroupe ensuite les boites d’allumettes par dix, ce sont des milliers. On note le reste qui correspond au chiffre des centaines. Et ainsi de suite... Si on obtient 364, cela si- gnifie qu’il y avait 4 allumettes, 6 paquets de dix avec élastique, 3 boites de cent.

HISTOIRE COLLECTIVE
La numération romaine est additive, ce qui veut dire que pour chaque ordre de grandeur (qui correspond à une étape de nos regroupements successifs), on a un symbole ou un chiffre pour la caractériser. L’écriture consiste alors en une juxtaposition de chiffres écrits l’un à la suite de l’autre et reprenant chacun une quan- tité partielle du total dénombré.
Plus le nombre à écrire est grand et plus il faut de chiffres.
Notre numération est positionnelle, ce qui veut dire

« Une numération de position n’est ni simple ni naturelle... »

que la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans l’écriture, chaque rang en partant de la gauche vers la droite exprimant une puissance de dix . La base de la numération qui correspond à la taille des regroupe- ments est dix. Et nous utilisons dix chiffres dont le zéro qui ne quantifie rien, mais qui exprime qu’à un rang donné, on puisse ne rien avoir. Dans l’écriture 3069, le zéro exprime qu’il n’y a pas de centaines.
Dans l’histoire de toutes les civilisations connues, on en a dénombré que quatre qui ont développé une numération positionnelle. En Mésopotamie (actuels Iran et Irak), les Sumériens puis les Babyloniens, vers 3000 ans avant notre ère, vont petit à petit utiliser une numé- ration positionnelle de base soixante avec seulement deux chiffres, l’un qui ressemble à un clou pour les uni- tés et l’autre à un chevron pour les dizaines. La numération n’est pas purement positionnelle étant donné qu’à chaque ordre de grandeur ou puissance de soixante, on rassemble des clous et des chevrons de façon additive pour exprimer un nombre qui va d’un à cinquante-neuf.
La civilisation maya qui s’étale, dans le temps, de 1600 avant notre ère jusqu’à 1500 et, géographiquement entre les deux Amériques (sud du Mexique, Guatemala, Honduras), a développé une numération positionnelle de base 20 en utilisant un point pour l’unité et un trait pour cinq.
Au premier siècle avant notre ère, les Chinois ont développé une numération positionnelle de base dix. Il en sera de même en Inde vers le sixième siècle. Cette dernière transitera par les Arabes avant d’apparaitre en Europe après le dixième siècle.

HISTOIRES INDIVIDUELLES
En formation d’adultes avec des formateurs ou des enseignants, en formation initiale avec de futurs ensei- gnants, j’ai très souvent expérimenté des activités de comptage comme, par exemple, celle-ci :
« À l’aide de cailloux, de vos doigts ou de tout autre objet qui vous passe par la main, élaborez un système qui permette d’évaluer le troupeau de la figure jointe ainsi que tout sous-troupeau issu de ce troupeau. Mimez la solution sans faire un seul commentaire. »
Ou encore, celle-ci :
« 1. Dans une tribu matriarcale d’Amazonie centrale, on distingue les femmes indigènes monogames, bigames, trigames, tétragames et polygames. En résumé, dans cette tribu on ne sait compter que jusqu’à quatre. Sans recourir à notre numération et à ses chiffres, évaluez le “marem” de la cheftaine de tribu représenté à la figure jointe. Vous pouvez créer les symboles que vous voulez.
2. Chaque groupe reçoit un tas d’allumettes qui sym- bolisent les hommes d’un marem. À partir du système mis au point dans le problème 1, exprimez combien d’hommes il y a et transmettez un message qui permette à un autre groupe de reconstituer le marem que vous avez. N’utilisez pas les chiffres de notre numération. Après retour de votre feuille de message, constatez le résultat.
Mise en commun des systèmes de comptage utilisés. Analyse de l’efficacité de chacun d’eux. Relevé de ce qui fait la force et de ce qui fait la faiblesse d’une numération.
3. Chaque groupe reçoit un nouveau tas d’allumettes et essaie d’écrire un message symbolisé.
Mise en commun des écritures et recherche de l’écri- ture la plus symbolisée, la plus courte et utilisant le moins de symboles possibles.
4. Évaluez le marem de la figure jointe (un plus grand nombre que pour les figures précédentes). »
Ce qui frappe à l’issue des recherches des partici- pants à ces activités, c’est que malgré leur âge adulte et toute la formation qu’ils ont reçue, malgré l’usage intensif à l’école, et dans la vie, d’un système de numé- ration positionnel en base dix, la très grande (et dans certains cas l’absolue) majorité des personnes mettent au point une numération additive en créant toujours plus de chiffres au fur et à mesure que la collection à dénombrer grandit.
Si un constat semblable peut être dressé, tant à l’échelle de l’histoire collective qu’à l’échelle des his- toires individuelles, cela ne suffit-il pas à prouver qu’une numération de position n’est ni simple, ni natu- relle ?

À LA LUMIÈRE DE CES HISTOIRES
Ce qui peut paraitre plus choquant, c’est que même notre numération orale a une nature additive. Vous n’y croyez pas ? Lisez donc le nombre suivant à voix haute : 137 254 218.
Vous n’avez pas entendu « million, mille, cent, dix, huit », c’est-à-dire des mots différents pour des ordres de grandeur différents. Et si vous lisez ce nombre de la façon « un, trois, sept, deux, cinq, quatre, deux, un, huit » (ou dans l’ordre inverse), croyez-vous que quelqu’un a saisi de quel nombre vous voulez parler ?
Comprendre une numération de position en profondeur... Cela veut dire quoi en profondeur ? Par exemple, faire la différence entre les deux « 12 » qui apparaissent quand on applique l’algorithme de division écrite au partage de 81 607 par 23 (figure 1 ci-contre). Ils sont tous deux des restes partiels et ils correspondent à des ordres de grandeur différents, lesquels ? Et les chiffres successifs qui apparaissent dans le quotient tandis que la division est en train d’être faite, voit-on bien ce qu’ils représentent ?
Comprendre une numération de position en profondeur, c’est bien plus que franchir un seuil épistémologique. C’est plutôt une différence d’étages épistémologiques qu’il faut surmonter au travers d’un escalier di- dactique formé de marches bien pensées et accessibles à l’apprenant.
Nous n’avons ni l’ambition ni les capacités nécessaires, de notre petit point de vue de praticien, d’élaborer un ouvrage (au sens architectural du terme) de telle ampleur. Il ne nous reste qu’à interroger nos pratiques à la lumière de ces histoires.

REFAIRE L’HISTOIRE
Peut-on écarter les activités de dénombrement avec des enfants ? Évaluer, comparer des collections de plus en plus grosses. Induire des regroupements si ce n’est fait spontanément par les apprenants. Pousser à des regroupements par dix. Manipuler des collections d’objets de toutes sortes ; donner un soutien géométrique avec le cube, la ligne de cubes, la plaquette de cubes, le solide de cubes ; faire des achats et ventes en monnaie sonnante et trébuchante.
Peut-on éviter des activités d’échanges avec les apprentis de la numération décimale ? Avec des jetons, des billets et des pièces, des plaques de chocolat... Pour provoquer un va-et-vient continuel et dans les deux sens entre un niveau de grandeur et celui qui est au-dessus.
Peut-on se passer en classe primaire d’activités de partage ? Répartir en 7 parts égales, par exemple, une somme de 1000 euros qu’on a sous la forme de billets de 500. Cela force à l’échange et on descend même en deçà de l’unité sans forcer.
Peut-on se passer, dans toutes ces activités, dont la liste est loin d’être exhaustive, de faire dessiner ou re- présenter ce qu’on fait ? Amener les élèves à écrire des messages pour traduire des nombres, à coder pour com- muniquer avec les autres, à symboliser pour simplifier les écritures.
Durant ma propre scolarité, je n’ai rien fait de tout cela. Mais tout a changé aujourd’hui. Et si c’est vrai, cet article est complètement inutile, mon bonheur est à son comble et j’offre une tournée générale à tous les lecteurs.