Matériel : pour chaque groupe de 3 ou 4, il vous faut un morceau de plaque de polystyrène expansé, un cube réduit à ses arêtes et un soleil (cela peut être le même pour tous les groupes).
Consigne : en faisant bouger le cube et/ou la plaque, essayer d’obtenir le plus de figures planes possibles (figure 1). Gardez une trace écrite de chacune des figures obtenues.
Pondre
Une fois rentré en classe, on fait une synthèse avec le groupe entier. Celle-ci variera fortement suivant le niveau de la classe. Dans une classe de primaire, on se contentera de relever toutes les possibilités. Quelques exemples sont montrés à la figure 2. Si on ne regarde que le pourtour extérieur, quelles sont les figures planes obtenues ? Est-il possible d’avoir un triangle ? Un carré ? Un rectangle ? Un parallélogramme ? Un losange ? Un trapèze ? Un pentagone ? Un hexagone irrégulier ? Un hexagone régulier ?
(figure 2)
Pour chaque figure, quelles sont les arêtes qui ont une ombre et quelles sont celles qu’on ne voit pas ? Pourquoi ne les voit-on pas ?
Si on considère que chaque ombre est une « vue » du cube encore appelée représentation plane. Comment faut-il le regarder pour l’apercevoir comme dans chacun des cas ? Si le cube est plein, quelles sont les arêtes qu’on ne verra plus ? Dessinez en pointillés les arêtes cachées.
Avec une classe du secondaire, on pourra s’intéresser au mécanisme et modéliser le phénomène de l’ombre. Comment cela se passe ? Quelles sont les caractéristiques de toutes ces ombres ? Comment faut-il placer le cube et la plaque pour obtenir chaque ombre ?
Pourquoi les rayons du soleil sont-ils parallèles ? Si l’ombre est le résultat d’une projection cylindrique ou parallèle, quelles sont les propriétés de ces projections ? En fin de secondaire, pour un niveau de mathématiques fort, on pourra même aller jusqu’à prouver ces propriétés.
L’œuf ou la poule
L’écrit se pratique sur des surfaces planes. II est donc difficile de communiquer nos réflexions et raisonnements relatifs à des objets de l’espace sans utiliser des représentations planes de ces objets. Mais pour réaliser des dessins, faire des perspectives, construire des représentations de ces objets de l’espace ou juger de leur adéquation à certaines règles ou standards, il faut utiliser des propriétés géométriques. C’est paradoxal !
Autrement dit, pour faire de la géométrie, il faut savoir représenter dans le plan des objets de l’espace et pour pouvoir représenter ces objets, il faut faire de la géométrie. Pour le débutant géomètre, il faut bien prendre l’apprentissage par un bout. Le travail à partir des ombres permet de faire « deux en un » :
il donne aux élèves une forme de représentation plane des objets de l’espace accessible aux plus jeunes ;
il permet de poser de bonnes questions géométriques à traiter avec les élèves de tous les âges.
Dans ce travail, il y a de la place pour conjecturer et argumenter, pour faire des hypothèses et les vérifier par l’expérience, ce qui évite de confier à l’autorité la décision finale sur la véracité des solutions émises.
Un jour un œuf
Étudier les ombres au soleil d’un cube, c’est un début. Qui peut être suivi par l’étude des ombres d’un tétraèdre régulier ou d’un octaèdre régulier.
On peut encore investiguer un type de perspective particulier dans la panoplie des représentations planes issues des projections parallèles : cavalière, axonométrique, isométrique…
Avant d’aller plus loin et de découvrir d’autres types de projections qui débouchent sur des perspectives différentes (comme la perspective classique).
Mais revenons à la perspective isométrique, à la représentation d’un cube plus particulièrement (figure 3). La figure est réversible. On peut y voir un cube avec un sommet qui pointe vers soi. On peut aussi la voir en creux comme une pièce vide où la face sombre est le sol.
(figure 3)
(figure 4)
Si on combine deux figures de ce type comme à la figure 4, comme il y a deux perceptions pour chacune, cela en fait quatre en tout :
on peut voir le grand cube sortant avec un cube creux à l’intérieur ;
on peut voir le grand cube sortant avec le petit cube en excroissance ;
on peut voir le grand cube comme une pièce vide avec un petit cube à l’intérieur ;
on peut enfin (et c’est la plus difficile à saisir, il faut fermer les yeux puis les rouvrir) voir une pièce creuse avec un cube creux dans le fond de la pièce. Vasarely a beaucoup utilisé ces figures réversibles.
La perspective isométrique offre l’avantage d’être facile à utiliser. Il suffit de travailler sur du papier pointé (figure 5). On peut représenter des cubes et des empilements de cubes pour obtenir des constructions tridimensionnelles allant des plus simples aux plus complexes.
