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Tout le monde s’accorde sur certains buts de l’école : lire, écrire, compter, comme allant de soi. Pédagogues, didacticiens, sociologues : passez votre chemin, il n’y a rien à voir, nous dit-on…
Et pourtant !

Partons d’une définition, « Compter : déterminer une valeur ou une grandeur numérique par un calcul ou une suite de calculs, ou, le plus souvent, par une énumération, un dénombrement [1]  ». Cette définition comprend un but et des moyens. Cependant, rien n’est dit sur les conditions de la détermination d’une valeur, c’est-à-dire sur la situation [2] qui contraint le comptage. On ne compte pourtant pas de la même manière quelques jetons éparpillés sur la table, des boutons sur un gilet, des élèves en rang par deux, les cases d’un quadrillage, etc. Le but est bien le même, mais les moyens adéquats sont différents : dénombrement un par un, deux par deux, multiplication. Il n’est en effet pas possible et surtout, pas pertinent, de considérer qu’il y a une manière de compter qui serait valable dans toute situation. Si l’on veut enseigner à compter, il faut enseigner l’adéquation entre des méthodes et des situations.

Compter : un rituel ?

Examinons la situation la plus courante à l’école maternelle : le professeur dispose quelques objets devant l’élève et lui demande combien il y a d’objets. Le but qu’assigne le professeur à l’élève est de dire le bon nombre. C’est un jeu de question-réponse comme dans la chanson-histoire : « Loup y es-tu ? Entends-tu ? » : il faut savoir que la réponse convenable peut être « Je mets mon pantalon. », mais pas « Tu as de grandes dents. », comme dans une autre histoire de loup… Il y a une acculturation à une forme sociale particulière. En position d’élève, quand le professeur me demande Combien ?, je dois réaliser certains gestes : pointer chaque objet un par un, dire la comptine numérique (un, deux, etc.), répéter le dernier nombre, etc. Ce n’est pas si facile. Par exemple, il ne faut pas réciter la comptine numérique trop vite, comme lorsqu’on essaye de dire les nombres à toute vitesse (undeuxtroisquat’cinqsix). De plus, ce but est contrôlé exclusivement par le professeur qui est le seul à pouvoir décréter que la tâche est réussie.

Compter : une solution à un problème ?

Les jeunes élèves sont souvent appelés à compter, dans des situations dans lesquelles ils perçoivent plus ou moins le but recherché. Par but, je ne réfère pas ici à l’attractivité supposée de certains objets liés au quotidien de l’élève ou à son univers imaginaire, mais au but que l’on se fixe quand on veut réussir à gagner dans un jeu dont l’issue favorable est connue.
Compter a donc un but si cela sert à quelque chose qui a été déterminé à l’avance, ce qui n’est pas le cas dans le comptage rituel. Mais dans d’autres situations, c’est le but qui est fixé. Par exemple, étant donné une quantité de coquetiers posés devant l’élève, aller chercher sur une table éloignée, avec un panier, en une seule fois, une certaine quantité d’œufs, de manière à déposer un œuf dans chaque coquetier sans qu’il reste d’œufs dans le panier [3]. Bien entendu, il est impossible pour de jeunes élèves de comprendre une telle consigne en une seule fois, le professeur doit installer le milieu progressivement, comme c’est souvent le cas quand on explique un jeu.
Dans une telle situation, même avec une assez petite quantité de coquetiers (disons cinq), de nombreuses procédures sont possibles pour réussir : compter les coquetiers, mémoriser le nombre final puis prélever les œufs en les comptant jusqu’au nombre final ; disposer les coquetiers dans une configuration connue (par exemple comme sur un dé), puis disposer les œufs de la même manière avant de les prélever ; s’apercevoir qu’il y a une main de coquetiers et aller chercher une main d’œufs ; dessiner la même quantité de ronds que de coquetiers et se servir de cette liste écrite pour prélever la même quantité d’œufs, etc. C’est ce qui caractérise un jeu par rapport à un rituel : il y a plusieurs façons de jouer et de réussir, le joueur a une liberté de choix. Il n’y a d’ailleurs pas de procédure qui soit systématiquement meilleure qu’une autre, car la réussite d’une procédure dépend de sa fiabilité en situation. L’intérêt d’une procédure dépend précisément de la situation. Par exemple, la liste écrite (schéma, écriture chiffrée, constellation, etc.) est la seule procédure possible s’il faut, le lendemain, trouver la bonne quantité d’œufs.

Compter : rôle des familles, rôle de l’école ?

Quand on s’intéresse à de jeunes enfants, les rôles des familles et de l’école interagissent toujours dans le partage de la transmission des savoirs et des connaissances. Tous les parents enseignent à leurs enfants à compter, ce qui familialement signifie réciter la comptine numérique le plus loin possible. Tous les parents dénombrent, par comptage, des objets, devant leurs enfants et presque tous les parents enseignent à leurs enfants à le faire également. Le rituel dont j’ai parlé plus haut est fréquemment entrainé dans les familles, même si ce n’est pas toujours dans la langue de scolarisation. Cependant, quand ils arrivent à l’école maternelle, les élèves ont la surprise de constater que cette pratique dont ils sont si fiers n’y est pas valorisée : il faut apprendre le un, puis le deux, puis le trois, et pas au-delà, en première année [4]. Il y aurait une progression qui serait supposée suivre l’ordre des nombres, pour une raison qui n’est pas expliquée, mais qu’il semble difficile de remettre en cause tant cette progression est simple...
Ce que partagent les parents et la majorité des enseignants, par contre, c’est l’idée implicite et, de ce fait, très difficile à faire évoluer que les mathématiques sont une sorte de rituel qu’il faut respecter sans jamais s’écarter de certaines règles. Or l’école pourrait, sur ce point, se différencier nettement des pratiques familiales. En effet, même pour de très jeunes élèves, les mathématiques ne sont pas seulement une affaire de mémorisation rituelle.

Compter : est-ce utile ?

Quand les élèves investissent des situations dans lesquelles ils peuvent essayer de réaliser un but sans être en position d’exécutants d’une procédure à suivre, ils révèlent qu’ils sont capables de convoquer des connaissances soit déjà rencontrées soit en cours d’acquisition (ce qu’a montré Guy Brousseau depuis les années 70). Par exemple, quand un élève de quatre ou cinq ans, sans y avoir été contraint, compte les cinq coquetiers puis cinq œufs pour réussir dans le jeu ci-dessus, il convoque une connaissance qui est ici pertinente en situation. C’est le cas aussi quand un autre élève schématise la quantité par cinq traits sans y avoir été obligé, etc. Ces connaissances sont alors convoquées non pas parce qu’elles sont ritualisées, mais parce qu’elles sont utiles dans cette situation-là. Il y a donc une autre progression que celle qui suit l’ordre des nombres, celle qui considère les différentes situations dans lesquelles des désignations de quantités sont utiles : pour agir, pour formuler, pour prouver.

Place et rôle possibles des mathématiques

Cependant, tout est dans la nuance : les élèves sont-ils en position d’investir des connaissances parce qu’elles sont utiles ou bien sont-ils contraints d’exécuter une tâche ? Certains élèves sont-ils plus souvent que d’autres dans une position de tâcherons ? Ceux-ci sont-ils déterminés sociologiquement ? Hélas, il semble bien que la réponse à ces deux questions soit oui, à l’insu des professeurs eux-mêmes. En situation, les professeurs agissent de manière à faire réussir les élèves, au risque que cette réussite ne soit le signe d’aucun apprentissage, mais le résultat d’une injonction à faire. Ainsi, la réussite en situation qui, pour certains élèves, est le signe de l’investissement d’une connaissance utile est, pour d’autres, le résultat de l’exécution d’un ordre. Les sociologues de l’éducation [5] nous apprennent que la confusion entre faire et apprendre n’est pas neutre sociologiquement. Ce sont les mêmes élèves de milieu populaire qui risquent de penser qu’à l’école il faut bien faire et qui sont ceux à qui le professeur va montrer comment bien faire, écartant de ce fait leur possibilité d’apprendre en situation et d’investir des connaissances utiles.
Pour sortir d’un tel cercle vicieux, les mathématiques pourraient jouer un rôle privilégié, parce qu’elles entretiennent un rapport spécifique avec le réel. Si la procédure mise en œuvre dans le jeu coquetier-œuf est adéquate, elle conduit à réaliser l’action visée (mettre un œuf dans chaque coquetier et avoir un panier vide), si la procédure n’est pas adéquate l’action échoue, c’est la réalité et non pas le professeur qui le dit. Une fois une telle situation installée, le professeur peut investir, pendant quelque temps, une position d’incitateur bienveillant, puisque les élèves peuvent savoir eux-mêmes si leur procédure a abouti ou non à réussir le jeu. S’il s’aperçoit que certains élèves essayent de réussir au hasard, le professeur peut insister sur le caractère déterministe du jeu et indiquer qu’il est nécessaire de penser à son action : réfléchir avant de faire. Il peut permettre de nouveaux essais. Si des élèves cherchent à le placer dans une position de contremaitre, le professeur peut résister s’il sait que ce n’est pas son rôle. En acceptant d’occuper un temps la position d’observateur des actions des élèves, le professeur peut s’apercevoir que les élèves ne font jamais n’importe quoi, ce qu’une observation à la loupe permet de révéler [6].
Compter présente de multiples facettes, et la façon dont celles-ci sont abordées pourrait bien jouer un rôle dans une première rencontre des élèves avec les mathématiques en faisant voir uniquement leur aspect ritualisé voir rigide, ou bien, au contraire, en faisant vivre des mathématiques vivantes. Cependant, cela demande des connaissances professionnelles spécifiques, alors que le grand public pense qu’il s’agit juste d’apprendre à compter…  

notes:

[1 https://is.gd/MQNuNo sens 1

[2Le mot situation et les différentes situations évoquées ici s’inscrivent dans le champ théorique de G. Brousseau, Théorie des situations didactiques, La pensée sauvage, 1998.

[3C. Margolinas et F. Wozniak, Le nombre à l’école maternelle. Une approche didactique, De Boeck, 2012.

[4C’est en tout cas la pratique majoritaire en France, à l’école maternelle, en petite section.

[5 Je pense notamment aux travaux d’É. Bautier et de J.-Y. Rochex, université Paris 8.

[6M. Laparra et C. Margolinas, Les premiers apprentissages scolaires à la loupe, De Boeck, 2016.