Aux arguments, citoyens !

Le cours de mathématiques a la réputation d’être un lieu où les règles et les propriétés affichent une vérité que les élèves n’ont pas à remettre en question. L’argumentation est souvent vite mise de côté au profit de l’application automatique de procédures. Comment mettre en place des séances d’apprentissage où la responsabilité scientifique est confiée aux élèves ? Quelles attitudes l’enseignant doit-il adopter pour permettre aux arguments d’émerger ?
Les deux extraits de dialogues suivants, puisés dans des classes, illustrent les effets de ce type d’apprentissage, à deux niveaux d’enseignement.

Comparer des fractions

La consigne suivante est donnée dans une classe de deuxième année du secondaire :
« Comparez 8/9 et 9/8 . »
Élève 1 : Pour les comparer, il faudrait mettre ces deux fractions au même dénominateur.
Élève 2 : On pourra, ensuite, comparer leur numérateur.
Élève 3 : Une fois que l’on connait la règle à appliquer, c’est facile !
L’ensemble des élèves se jette alors dans des calculs jusqu’à ce qu’un élève pense à comparer les deux fractions à 1. Ouf !

Calculer un PGCD

La question suivante a été posée à des étudiants de Bac 1 en agrégation de l’enseignement inférieur de mathématiques, dans le cadre d’un cours d’arithmétique : quel est le PGCD (plus grand commun diviseur) de 21 000 et 21 002 ?
Tous se lancent automatiquement dans des calculs : ils cherchent la décomposition en produits de facteurs premiers des deux nombres. La plupart commencent par diviser 21 000 par 2 (ça donne 10 500), puis le résultat par 2 (ça fait 5 250), puis encore par 2 (euh...)... Il faut attendre plusieurs minutes pour qu’une étudiante pense que le PGCD cherché ne peut pas excéder 2, la différence entre 21 002 et 21 000...
On voit que l’habitude de prendre du recul, de faire des liens avec ses connaissances, de chercher, bref de réfléchir face à une situation mathématique n’est pas installée, contrairement à celle d’appliquer des recettes. On peut déplorer que l’enseignement des mathématiques produise parfois plus de bons automates qu’il ne développe l’esprit critique.

Le débat scientifique et la prise de position

Dans les classes, beaucoup trop d’élèves se contentent de répondre aux questions sans se soucier de la validité de leurs réponses ni même de leur plausibilité, celles-ci étant laissées à la responsabilité de l’enseignant. Certaines réflexions d’élèves — Monsieur (Madame), avec vous aussi on doit faire comme ça... ? — montrent bien que ce qu’ils étudient en mathématiques n’a pas de valeur de vérité pour eux, mais fait juste partie de la matière d’examen.
Comment changer cela ? Un outil est la pratique du débat dont l’objectif principal est, à terme, de déléguer aux élèves la responsabilité de la validité des propositions et des règles. C’est à l’élève de conjecturer [1] face à un problème, c’est à lui de douter face à une affirmation. C’est lui, et non le professeur, qui devrait défendre son opinion à l’aide d’arguments pour convaincre ses camarades. Le débat scientifique est un outil favorisant cet échange de rôles. Il est défendu par l’institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques de Grenoble, qui a réalisé un travail de fond sur ce sujet. On peut y trouver les principes et les règles du débat scientifique [2].
Ce qui suit s’inspire de leurs travaux, avec sans doute quelques différences. L’idée est de soumettre aux élèves une question qui peut amener rapidement des réponses vrai ou faux ou plusieurs conjectures. La question soumise peut aussi venir des élèves eux-mêmes, au détour d’une leçon plus classique, lorsqu’un élève énonce une conjecture qui pourrait être contestée par d’autres.
On laisse alors chaque élève réfléchir un petit moment seul, puis avoir rapidement un échange avec l’un ou l’autre camarade. Après quoi on procède à un vote (ou plutôt une consultation : vrai, faux, autre...). Le débat peut commencer. Les élèves doivent respecter certaines règles : parler en regardant le groupe (et non le prof) pour que tous puissent entendre, écouter pour comprendre, ne pas porter de jugement, énoncer la thèse que l’on défend avant d’argumenter... Le professeur distribue la parole si nécessaire, mais reste neutre. Il s’assure de l’écoute et du respect de chacun. Il s’abstient de valider ou d’invalider directement ce qui est dit, mais peut demander à un élève de répéter ses arguments s’il pense que tous n’ont pas entendu ou compris. Il peut aussi, si nécessaire, demander que les élèves réfléchissent à nouveau en petits groupes. Cela permet à certains, plus réservés, de faire entendre leur voix. Il peut aussi, en cours de débat, procéder à un deuxième vote pour que l’on voie si les avis ont changé grâce aux interactions.
À la fin du débat, l’enseignant peut procéder à un dernier vote. Selon les cas, il laisse la question en suspens (jusqu’au prochain cours ?) ou valide déjà la conclusion du débat. Mais, de toute façon, à un moment ou à un autre, il reprend les arguments principaux, ceux qui ont été déterminants, ceux qui sont transférables à d’autres situations mathématiques ou autre, ceux qui semblaient séduisants, mais étaient finalement faux, les arguments creux, les arguments circulaires, les arguments d’autorité... Il peut aussi faire le point sur les contenus mathématiques utilisés, les erreurs entendues et finalement sur la conclusion du débat.

Exemples de questions qui font débat

Voici quelques exemples de questions qui peuvent susciter le débat. Certaines ont été présentées aux élèves, d’autres ont été formulées par des élèves lors d’un cours ordinaire et ont fait ou auraient pu faire débat. Beaucoup conviennent à un public de douze à quinze ans. Il en existe pour tous les âges.
 Qu’est-ce que ça fait 18 : 0 ?
 4.16/3 = 64/12 ou 4.16/3 = 64/3 ?

 J’arrive à dessiner un triangle dont les côtés mesurent 2,5 cm, 5 cm et 7,5 cm, tout pile.
 S’il y a au moins deux facteurs négatifs dans un produit, la réponse est positive ?
 Deux triangles de même aire [3] peuvent-ils être tels que tous les côtés de l’un sont strictement plus petits que tous les côtés de l’autre ?
 Comparez 0,999... et 1.
 Combien de fractions [4] y a-t-il entre 6/11 et 7/10 ?

Intérêt des débats

Les débats peuvent être source d’un réel plaisir mathématique, tant pour les élèves que pour le professeur. Ils suscitent la réflexion, la communication et aident à apprendre les règles du jeu mathématiques (usage des contrexemples, rôle des définitions, des cas particuliers, etc.), souvent applicables aux discussions quotidiennes. Ils permettent aux élèves de prendre position face aux énoncés mathématiques, mais aussi de s’écouter, de respecter les positions des autres. Gageons qu’ils augmentent la confiance en soi et en ses capacités à convaincre !
Mais ils constituent aussi un réel outil épistémologique pour l’enseignant, dans le sens où, lors d’un débat, il voit ce que les élèves pensent, les intuitions, etc., tout ce qu’ils ne disent pas habituellement parce que le prof est souvent trop présent.
Enfin, le débat amène les élèves à remettre en question le sens des concepts et des théories et, finalement, à se les approprier.