Recherche

Commandes & Abonnements

En six millénaires, la situation des chèvres n’a pas changé. Durant cette longue période, elles ont été considérées comme propriété des hommes et objets de leur commerce. Mais le commerce a changé, les hommes ont construit des écritures et celles-ci ont changé l’homme.

C’est la fin du quatrième millénaire, en Mésopotamie [1](actuel Irak) ou en Élam (actuel Iran), qu’importe. Tarek et Aziz, échangent une bulle creuse d’argile contenant des petits jetons de même matière mais de taille et de forme variées qui représentent des biens (moutons, huile, mesures de blé, ...) Cette bulle est comme un registre de comptabilité. À sa surface apparaissent des sceaux, celui de Tarek, propriétaire et celui du contrôleur, Aziz.

Quelques générations plus tard, des descendants de Tarek et Aziz manipulent un bulle un peu différente, les jetons ont été appuyés dans l’argile de la bulle avant d’être enfermés dans celle-ci. Vraisemblablement pour permettre une vérification avant la fin du contrat sans casser la bulle. Plus tard, les jetons concrets disparaissent et seules restent les encoches à l’extérieur. La bulle s’aplatit. Puis des marques de calame (roseau) remplacent les encoches.

L’écrit

Au début du troisième millénaire (2800 av. J-C), on distingue dans le dessin au calame une partie quantitative (un nombre en quelque sorte) et une partie qualitative (la nature des objets comptés). Le système utilisé pour le comptage des objets discrets et les mesures linéaires n’est pas le même que le système utilisé pour les mesures de surface ou le système utilisé pour les mesures de capacité.

L’Élam et la Mésopotamie, formant deux plateaux séparés de montagnes, sont finalement le berceau [2] de la naissance commune, au IVe millénaire, de l’écriture et des mathématiques [3]. On peut retenir que ces premières écritures :

  • sont des aide-mémoires qui servent à garder trace de nombres et d’objets afférents à des transactions ;
  • ne sont en rien des transcriptions de langage oral ;
  • sont étroitement liées aux mathématiques à leurs débuts.

Au milieu du troisième millénaire [4] avant Jésus-Christ, le jeune scribe Hussein (descendant de Tarek) fait des exercices de partages et de division sous le regard attentif de son maitre Saddam (descendant de Aziz). Beaucoup de choses ont changé depuis l’époque de leurs ancêtres. L’implosion des campagnes et une croissance régulière de vastes centres urbains a favorisé une croissance des échanges commerciaux. Le nombre de systèmes métrologiques a décru et l’écriture s’est développée. Les signes numériques se sont détachés des signes qualitatifs des objets, les nombres sont autonomes et se distinguent des unités. Aux ensembles séparés de signes numériques pour chaque système métrologique, se sont substitués un ensemble standard de nombres. Les unités restent pléthoriques tandis que l’écriture [5] se simplifie.

Le calcul

Des descendants [6] de Saddam et Hussein nous ont laissé des textes pratiquement tous écrits en sumérien, langue déjà morte pour l’époque (comme le latin au Moyen Âge), qui font apparaitre que les calculs mathématiques sont faits dans un système sexagésimal [7] de position [8].

Il reste deux signes (ou chiffres) : quelque chose qui ressemble à un clou vertical (τ) pour l’unité et quelque chose qui ressemble à une espèce de chevron (<) pour la dizaine.

Mais la valeur de chacun dépend en fait de sa position dans le nombre. Par exemple, le nombre
Fig.1

Vaut 37x60^2+43x60+58=135838.

À ce moment, comme il n’y a pas de « trou » ou « zéro » pour caractériser l’absence d’un rang, on ne peut dire si ce n’est pas plutôt 37x60^3+43x60+58 ou 37x60^3+43x60^2+58x60 ou...

Avant que le zéro n’apparaisse, il faudra se fier au contexte du problème énoncé et des calculs opérés pour interpréter l’écriture.

À cette période, les premiers représentants d’une classe importante de tables, celle des inverses nous laisse supposer qu’à côté de l’addition, de la soustraction, de la multiplication, de l’extraction de racines carrées, des opérations qui ont déjà laissé des traces avant, on pratique également la division par multiplication de l’inverse du diviseur.

Quelques générations plus tard [9], ce sont encore des tables et des procédures, confirmant la maturation des connaissances antérieures, qui apparaissent dans les textes mathématiques. Les textes de procédures proposent des solutions aux problèmes posés sans symbolisme autre que celui des chiffres et sans explications sur le pourquoi des calculs effectués et leur enchainement. Ce sont plutôt des algorithmes de résolution dont la logique n’est pas toujours claire à nos yeux mais qui fonctionnent bien sur des questions non triviales. Certains esprits contemporains, imprégnés qu’ils sont de culture mathématique grecque, n’y verront que des listes de recettes sans justifications. Depuis, les algorithmes font pourtant recette.

La morale

Au lieu de regarder l’évolution de la numération sumérienne puis babylonienne, on aurait pu s’intéresser à la longue construction de la numération égyptienne ou chinoise ou indienne ou maya ou... À la suite de longues études de ce type, on pourrait constater des similitudes et des convergences. Risquons quelques remarques générales :
- 1° L’écriture du nombre nait en même temps que l’écriture tout court et en même temps que le nombre.
- 2° L’écriture permet la manipulation de grands nombres.
Sur le chemin des nombres, on trouve :

  • Les calculi : des objets (cailloux par exemple) qui caractérisent des collections d’objets (des chèvres par exemple).
  • Les bouliers (en Chine, notamment).
  • Les abaques (au Moyen Âge).

- 3° L’écriture permet le calcul, même sophistiqué (comme la division par exemple).
- 4° Toutes les écritures ne sont pas semblables : les types varient (numérations de position ou numérations additives), la base [10] varie (base 20 pour les mayas, base 60 pour les babyloniens, base 10 pour les indiens,...), le nombre de chiffres varie (parfois il correspond à la base, parfois non), le zéro est présent ou absent,...
- 5° Parmi la multitude de numérations développées dans l’histoire, quatre peuples seulement ont réussi à se donner une numération de position [11], les Babyloniens, les Chinois, les Mayas et les Indiens. On ne sait si la numération décimale de position qui remonte vraisemblablement à une époque bien plus haute que le VIIe siècle de notre ère, a puisé sa source dans une influence étrangère (babylonienne, chinoise) ou s’il s’agit d’une découverte autonome, proprement indienne.
- 6° Les écritures n’ont pas toutes la même performance. Un système de numération est efficace s’il permet :

  • d’écrire un nombre de façon univoque et relativement simple ;
  • de comparer des nombres à partir des écritures ;
  • d’effectuer des opérations rapides selon des règles simples.

Il faut, par exemple, pouvoir écrire des grands nombres à l’aide d’un nombre limité de signes. Ou encore que l’écriture soit la plus courte possible. Il faut que les tables d’addition et de multiplication ne soient pas trop difficiles à mémoriser.

Le petit de l’homme n’a pas de temps à perdre, il n’a pas le temps de l’histoire et il doit apprendre vite, les nombres et l’écriture. Le maitre du petit de l’homme actuel est chargé de lui transmettre un savoir ancestral en empruntant certes un chemin sinueux mais en lui épargnant les méandres et les errements de la longue marche historique. Gageons qu’au détour d’un virage historique, un tournant didactique s’éclaire.

notes:

[1C’est plus précisément la Basse-Mésopotamie ou pays de Sumer qui est concerné et tout particulièrement le site d’Uruk baptisé pour cette époque Uruk IV.

[2À cette heure de folie guerrière, il est peut être bon de rappeler aujourd’hui que c’est de là que nous viennent les plus anciennes traces de nombres et d’écritures. Ce sont des découvertes assez récentes qui datent des années 1960.

[3Pour les détails de l’analyse historique et épistémologique, on peut consulter : James Ritter, Mathématiques mésopotamiennes, in Fragments pour une initiation à l’histoire des sciences, IREM de Nancy, 1993 ; du même auteur, Babylone -1800 et Chacun sa vérité : les mathématiques en Égypte et en Mésopotamie, in Michel Serres, Éléments d’histoire des sciences, Bordas, Paris 1991 ; Catherine Goldstein, La naissance du nombre, in La Recherche, n°278 de juillet/aout 1995.

[4Période protodynastique (2700-2350). À cette époque, on trouve les premiers textes mathématiques destinés à enseigner l’art du calcul au jeune scribe. Ces textes sont soit des tables, soit des textes de procédures.

[5L’apparition de l’écriture cunéiforme.

[62200 avant Jésus-Christ.

[7L’adjectif sexagésimal signifie qu’il s’agit d’une numération en base soixante, comme le sont encore aujourd’hui la mesure du temps et la mesure des angles, en heures, minutes, secondes.

[8On distingue les numérations de position (comme la nôtre) des numérations additives (comme l’égyptienne ou la romaine) et des numérations hybrides. Dans ce cas, il s’agit plutôt d’un système hybride mais proche d’une numération de position. Pour plus de détail, le lecteur peut consulter le livre de G. Iffrah, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, 1994.

[92000 à 1600, c’est l’époque paléobabylonienne.

[10Dans un comptage, quand la collection grandit, on a intérêt à faire des paquets d’objets puis des paquets de paquets, et ainsi de suite... Si à chaque étape on prend le même nombre de paquets, ce nombre est la base.

[11Au cours de nombreuses formations où nous avons proposé des comptages dans des contextes qui permettaient de sortir des habitudes acquises, nous avons constaté que la plupart des formés construisaient naturellement une numération de position. Ce qui est d’autant plus étonnant pour des gens qui manipulent à longueur de journée une numération de position.