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La bonne situation-problème se suffit à elle-même. Elle parle aux élèves, engendre leur activité, nécessite l’élaboration d’outils adéquats et provoque l’apprentissage. De problème en problème, l’élève découvre les facettes d’un concept. Le professeur observe avec bienveillance, relance avec dynamisme, organise la synthèse...

« Je suis prof de math, j’ai deux classes de quatrième, voici les résultats (tableau ci-dessous) du premier contrôle.

4A 4B
Julie 7 Pierre 7
Sandrine 3 Xavier 5
Yves 9 Christophe 15
Caroline 17 Magali 15
Stéphanie 10 Nicolas 3
Arnaud 12 Sandrine 4
Pierre 10 Sophie 9
Mélissa 10 Geoffrey 4
Christophe 18 Elodie 5
Cédric 8 Elisabeth 15
Pierre 18 Aïcha 18
Tara 10 Laurent 14
Nicolas 8 Florence 20
Amanda 4 Mamadou 16
Claire 12 Maxime 5
Michaël 19 Michaël 3
Geoffrey 11 Aurélie 12
Gladys 16 Eric 4
Axel 5 Michaël 14
Cécile 11
Kevin 18
Sébastien 12

Le collègue qui m’a précédé dit que la A est meilleure que la B. Cela se confirme-t-il avec ce premier contrôle ? » [1]
Pour la plupart des élèves, c’est simple, ils calculent rapidement la moyenne en faisant la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre d’élèves. La conclusion est tout aussi rapide, la classe A dont la moyenne est de 11,27 est meilleure que la B dont la moyenne vaut 9,89.
Un dialogue s’installe :
- - Êtes-vous sûr ? Peut-on se fier entièrement à la moyenne ? Cela suffit-il comme indicateur ? Allez plus loin dans l’analyse.
- - On peut regarder le nombre d’échecs. Sept élèves en échec en A, 10 en B. Cela confirme ce qu’on avait dit.
- - Et si le contrôle est « dispensatoire » à 12 ?
- - En A, 9 élèves sont dispensés, tout comme en B. C’est la même chose.
- - La même chose ?
- - Non il n’y a pas le même nombre d’élèves dans les deux classes. En A, il y aurait à peu près 40 % (9/22) de dispenses ; tandis qu’en B, il y aurait à peu près 47 % (9/19) de dispenses. La classe B est meilleure que la classe A ?

Porter le coup

C’est le moment de proposer quelques outils de la statistique descriptive auxquels les élèves ne peuvent avoir recours seuls s’ils sont néophytes en statistique descriptive. Et cela ressemble, dans le cas présent, plus à un coup de pied qu’à un coup de pouce...
Pour chaque classe, on va faire un tableau :

variableeffectiffréquenceeffectifs cumulésfréquence cumulée
3 1 0,045 1 0,045
4 1 0,045 2 0,09
5 1 0,045 3 0,136

Dans la première colonne, on reprend toutes les valeurs en les rangeant par ordre croissant. Dans la seconde, on indique l’effectif c’est-à-dire le nombre de fois qu’est répétée chaque valeur. Dans la troisième colonne, on calcule les fréquences ou rapport de l’effectif au total. On fait cela pour pouvoir comparer des classes qui n’ont pas le même nombre d’élèves.
Dans la quatrième colonne du tableau, on va calculer les effectifs cumulés. Cela va s’avérer utile dans la suite. On se demande pour chaque valeur, combien d’étudiants ont une cote inférieure ou égale à cette valeur. Dans la cinquième colonne, on calcule la fréquence cumulée à partir des effectifs cumulés.
Une fois les tableaux constitués, on peut comparer :

4A 4B
cote eff. fr. eff. cumu. fr. cumu. cote eff. fr. eff. cumu. fr. cumu.
3 1 0,045 1 0,045 3 2 0,105 2 0,105
4 1 0,045 2 0,091 4 3 0,158 5 0,263
5 1 0,045 3 0,136 5 3 0,158 8 0,421
7 1 0,045 4 0,182 7 1 0,053 9 0,474
8 2 0,091 6 0,273 9 1 0,053 10 0,526
9 1 0,045 7 0,318 12 1 0,053 11 0,579
10 4 0,182 11 0,500 14 2 0,105 13 0,684
11 2 0,091 13 0,591 15 3 0,158 16 0,842
12 3 0,136 16 0,727 16 1 0,053 17 0,895
16 1 0,045 17 0,773 18 1 0,053 18 0,947
17 1 0,045 18 0,818 20 1 0,053 19 1,000
18 3 0,136 21 0,955 19 1,00
19 1 0,045 22 1,000
22 1,00

Ce qui reste malaisé. Si on fait des graphiques, ce serait peut-être plus clair. Un graphique en bâtonnets pour les fréquences et un graphique cartésien pour les fréquences cumulées. Pour la comparaison, on a intérêt à mettre chaque fois les deux classes sur le même graphique (figures 1 et 2).

Figure 1


À partir du graphique des fréquences (figure 1), on reste mitigé. Il y a plus [2] de basses cotes en B. Plus de cotes entre 8 et 12 en A. Plus de cotes entre 13 et 16 en B. Plus de cotes supérieures à 17 en A. Mais il est difficile de tirer une conclusion générale.

Figure 2


Quand on regarde le graphique de la fréquence cumulée (figure 2), on voit que sur certains intervalles les valeurs de 4A sont inférieures aux valeurs 4B. Et sur d’autres intervalles, c’est le contraire. La classe est-elle d’autant meilleure que les valeurs sont hautes ? Comment voir qu’une classe est meilleure qu’une autre ?
Pour n’importe quelle cote donnée, plus la fréquence cumulée est basse et meilleur est le niveau puisque la fréquence cumulée donne le rapport des cotes inférieures à cette cote, au total des cotes. Une classe serait donc meilleure qu’une autre si pour toutes les valeurs de la variable « cote », son graphique de fréquence cumulée était « en dessous » de celui de l’autre. Ce qui n’est le cas pour aucune des classes, dans le cas présent.

Encaisser

Dans la mesure du possible, nous cherchons une suite de problèmes qui permet aux élèves de reconstruire un concept avec le plus d’autonomie possible et de saisir son sens alors qu’il œuvre dans la résolution du problème.
Ce que l’exemple explicité veut montrer, c’est que sans être des partisans d’une transmission frontale, il faut bien reconnaître qu’à certains moments le prof doit donner un coup de pouce aux élèves pour leur faire passer un seuil qu’ils ne peuvent franchir naturellement. À ce moment, autant le faire de façon claire et franche !

notes:

[1C’est la première question du cours de statistique descriptive en quatrième année secondaire.

[2Quand on dit plus, on parle de proportion et non de nombres absolus puisque ce sont les fréquences qui sont représentées.