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La géométrie est une science très ancienne. Depuis des millénaires, elle s’enrichit d’une multitude de résultats. Au XIXe siècle, elle était devenue immense, et on ne voyait plus tout à fait clair dans l’ordonnance de ses chapitres. Dans la deuxième moitié de ce même siècle, elle a été reprise à la base, principalement par un mathématicien allemand nommé Felix Klein.

Klein a montré l’intérêt de développer la géométrie en étudiant d’abord certains types de propriétés à l’exception de tous les autres, puis à rajouter quelques autres types de propriétés, et ainsi plusieurs fois jusqu’à arriver à toutes les propriétés que l’on qualifie habituellement de géométriques.

Procédé de Klein

Premières propriétés étudiées exclusivement : le fait pour une courbe ou pour une surface d’être ouverte ou fermée, pour un point d’être à l’intérieur ou à l’extérieur d’une surface fermée, le fait pour une figure d’être ou non d’un seul tenant, et un petit nombre d’autres du même genre. Lorsque la géométrie n’étudie que cela, on l’appelle la topologie. Dans cette géométrie, on ne parle pas de droites ni de plans.
Si on rajoute des droites qui se croisent en certains points, des plans qui se coupent suivant certaines droites, et ce genre de choses, on obtient la géométrie appelée projective. Celle-ci est née aux environs du XVe siècle, grâce aux travaux des peintres qui s’intéressaient à la perspective. Dans cette géométrie, on ne s’intéresse ni aux parallèles, ni aux perpendiculaires.
Si on rajoute les propriétés de parallélisme et de rapports de longueurs, on obtient la géométrie appelée affine. Et enfin, si on rajoute en gros les angles et leur mesure, on obtient la géométrie appelée euclidienne.
En ordonnant de cette façon les chapitres de la géométrie, on obtient globalement une science limpide. Cela aide à voir en géométrie, pour le dire familièrement, qu’est-ce qui dépend de quoi ?

Et Piaget dans tout ça ?

Piaget est un grand psychologue. Il a fait faire des pas de géant à l’étude de la genèse de l’intelligence chez les enfants. Bien sûr, et c’est normal, son apport a été depuis complété et nuancé sur certains points. Cela dit, il demeure un maitre à penser.
Toutefois, de l’un de ses trois grands ouvrages sur la genèse des notions géométriques -celui de 1947 : La représentation de l’espace chez l’enfant-, on peut dire qu’il ne reste aujourd’hui pas grand-chose. Il a cru y démontrer que les propriétés géométriques sont acquises par les enfants dans l’ordre topologie-projective-affine-euclidienne. Il appelle cet ordre « l’ordre de la construction mathématique elle-même ».
Or, il faut remarquer que les divisions de la géométrie identifiées par Klein ne supposent pas un sens de parcours, ce que Piaget appelle un ordre. On peut fort bien écrire un traité de géométrie dans l’ordre opposé, en partant de beaucoup de propriétés, puis en en écartant certaines d’un chapitre au suivant. C’est d’ailleurs ce que fait Klein lui-même dans un ouvrage où il s’adresse aux enseignants.
Mais l’essentiel est que Piaget qualifie de topologiques certaines propriétés de géométrie plane en très petit nombre et dont le lien avec la topologie n’est pas toujours évident. Et de même, il ramène les géométries projective et affine à très peu de choses.
Il parle de figures topologiques et de figures euclidiennes. Mais il n’existe rien de tel : une figure est ce qu’elle est, mais on peut étudier ses propriétés topologiques ou projectives ou affines, etc.
Sur le plan de la méthode, Piaget demande aux enfants de dessiner, mais ce qu’il relève, ce sont peut-être des insuffisances de la maitrise du dessin plutôt que de la pensée géométrique.
Bref, son exposé n’est pas convaincant, mais il faudrait pour le montrer bien plus qu’un bref article. Les lecteurs intéressés peuvent lire à ce sujet les commentaires de Freudenthal et ceux de Clements et Battista.
Conclusion : Piaget est un maitre à penser, mais aucun maitre à penser n’est un maitre absolu. La vigilance critique est toujours nécessaire. Comme quoi, méfiez-vous aussi du présent article.

ps:

Pour une étude un peu plus substantielle et des références précises à Freudenthal, Clements et Battista, voir l’ouvrage suivant : N. ROUCHE, avec la collaboration de P. SKILBECQ, Apprenti Géomètre, un atelier pour travailler les mathématiques, CREM, 2006.