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Cher lecteur perspicace, que vois-tu dans la figure 1 ?

« Fastoche » me diras-tu ! « Un bête carré ! ». C’est vrai, mais c’est pas tout à fait juste, tu ne vois pas le petit triangle caché derrière. « Ben non, et comment veux-tu que je le sache ? » Juste, mais c’est justement cela le problème avec les logiciels de dessin géométrique (style Illustrator...), c’est qu’on ne voit pas ce qu’il y a derrière. Et pourtant, un tas de choses peuvent se passer derrière le carré. C’est un peu comme si un dessin était une superposition de calques, de couches empilées les unes sur les autres, chaque couche comportant une forme ou dessin.
Si je déplace le carré un peu sur sa gauche, tu vois la pointe du triangle dans la figure 2 ?
On peut même carrément envoyer le carré vers l’arrière-plan pour faire apparaître le triangle comme dans la figure 2’.
Dans l’enchevêtrement des trois formes de la figure 3, il faut envoyer vers l’avant ou vers l’arrière les formes une par une pour parvenir à l’agencement de la figure 4.

Ici, c’est l’analyse de l’ordre d’empilement de départ qui permet de prédire la succession des envois (vers l’avant ou vers l’arrière). Ça commence à devenir intéressant car il faut choisir un ordre (d’abord cette forme-ci et puis cette forme-là) après avoir choisi un sens (vers l’avant ou vers l’arrière). Dans Apprenti [1] (AG), il faut choisir l’opération que l’on va appliquer (l’envoi vers l’arrière-plan, par exemple) et puis cliquer sur l’objet (par exemple le rectangle) auquel on veut appliquer cette action. AG ne permet que d’envoyer vers l’avant (mais tout en avant) ou vers l’arrière-plan. Il n’y a pas moyen de faire remonter ou redescendre un objet dans la pile des objets superposés. Cette limitation est fort intéressante malgré tout car elle force à envisager un ordre précis dans les envois.

Cela devient plus complexe quand les polygones n’ont plus de bord tracé, dessiné, comme s’il s’agissait de formes découpées dans du carton.
Ainsi voici quatre rectangles isométriques (figure 5) qui se recouvrent en partie.

On a épaissi le contour de l’un d’entre eux pour que tu puisses mieux les voir, Cher lecteur. On les colorie deux par deux. Le jeu est d’utiliser la fonction de mettre en avant ou en arrière-plan pour parvenir à réaliser les différents dessins de la figure 6.

Les polygones manipulés peuvent être opaques (colorés ou blancs) ou transparents, c’est-à-dire que seul le bord est dessiné. Cette nuance est très complexe à saisir, même pour toi, lecteur perspicace, car un rectangle transparent, vide, dessiné sur un fond blanc a la même apparence qu’un rectangle opaque et blanc ! Tu saisis ?
Cela arrive très souvent de croire qu’un objet a disparu, alors qu’il n’est pas visible, il est « simplement » caché derrière un autre objet plus grand mais opaque. Dans les logiciels de dessin vectoriel, où on manipule des objets géométriques, on peut déposer sur la feuille multitude d’objets, les plus récents se mettant au-dessus de la pile. Le déplacement de certains d’entre eux entraine parfois le masquage des autres d’où cette impression de disparition !

La figure 7 est au premier abord difficile à interpréter : soit le triangle est transparent et placé au-dessus du rectangle opaque, soit l’inverse, soit les deux sont transparents. C’est de nouveau notre fonction d’envoi vers l’avant ou l’arrière-plan qui permet d’interpréter correctement ce dessin.
La figure 8 prouve que, dans la figure 7, le rectangle était opaque et qu’il était placé en dessous du triangle transparent. Ce n’est qu’après avoir envoyé le rectangle en avant-plan que je peux (et toi aussi, lecteur) m’en rendre compte. Une même réalité peut être interprétée de différentes façons et ce n’est que la manipulation de ces objets qui permet d’en saisir leur agencement.

D’autre part, en coloriant les formes empilées, on peut en modifier la perception.

Ainsi l’assemblage de la figure 9 est composé de six rectangles.
Difficile de se les représenter correctement ! On voit plutôt un enchevêtrement de beaucoup plus que 6 rectangles !
En les coloriant tous de couleurs grises différentes comme dans la figure 10, on peut mieux percevoir leur agencement. Mais il faudrait pouvoir jouer avec « vers l’avant » ou « vers l’arrière » pour se rendre compte de leur taille complète !
En n’utilisant que deux couleurs comme dans la figure 11, il s’agit de modifier leur agencement pour parvenir à réaliser les différents dessins de la figure 12.

Comment passer de l’un à l’autre en un minimum de coups ? Et revenir à la situation de départ ? Mais surtout comment redessiner (sur papier) un assemblage de rectangles tous transparents, ceux-là, à partir des informations d’empilement récoltées à l’écran par des envois en avant ou arrière-plan successifs.

Se rendre compte de l’invisible en manipulant le visible, là est bien le défi de ce genre de travail.
Revenons au début. Je te disais que quelque chose était caché et que donc tu ne le voyais pas. Et tu me répondais (fort adroitement d’ailleurs) : « Comment veux-tu que je le sache ? ». C’est bien cela qui nous intéresse. Les élèves, parfois, ne « voient » pas ! Tout le travail du prof est d’alors donner suffisamment confiance aux enfants pour que ceux-ci prennent le risque de s’aventurer dans des zones invisibles, masquées, pour imaginer ce qui s’y trouve ! C’est ainsi que, à l’école maternelle, on dépose dans une boîte à couvercle, devant les enfants, trois pions verts et quatre pions rouges. On referme la boîte et on leur demande de dessiner ce qu’il y a dedans. « Tantôt, on la rouvrira pour vérifier ». Intéressant car on leur demande de « voir dans leur tête » des choses qui ne sont pas directement accessibles. De refaire l’action dans leur tête, de se souvenir de ce qui s’est passé. C’est la même chose quand on masque (avec une grosse tache) une partie de la table de multiplication et qu’on demande aux enfants de dire ce qu’il y a derrière. Ils ne peuvent évidemment le faire qu’en interprétant, prolongeant, extrapolant ce qui est aux alentours de cette tâche. C’est toujours la même chose quand on leur demande d’imaginer le nombre de cubes dans une construction (figure 13) sur laquelle on ne voit que les faces. On ne voit pas tous les cubes !

« Se rendre compte de l’invisible en manipulant ou interprétant le visible ». Comme je te disais plus haut.
Pas si anodins que ça, hein, lecteur, ces « petits jeux ». Cathodins, même... Je rigole, lecteur !

notes:

[1GéomètreLogiciel gratuit, conçu par le CREM, distribué à toutes les écoles fondamentales et accesible à l’adresse : http://www.enseignement.be/geometre/