Recherche

Commandes & Abonnements

Accueil / Publications / TRACeS de ChanGements / TRACeS 217 - Ruptures - Septembre & Octobre 2014 / La somme des angles d’un triangle vaut 100 degrés

En mathématiques, on démontre tout… Ou
presque… Les propriétés découlent les unes des
autres et chacune d’entre elles se démontre à
partir des précédentes. Tout fonctionne comme
une belle mécanique bien huilée.

— Et ça part d’où ?
— Comment ça, ça part d’où ?
— Ben oui, tout s’enchaine, mais il y a bien un début.
On justifie chaque nouvelle proposition à partir de la
précédente, mais la première, elle se justifie comment ?
— Ah pour cela il y a des axiomes. Ils précèdent et permettent
de démontrer tous les théorèmes d’une théorie
(appelée axiomatique pour cette raison).
— Comment sont démontrés les axiomes ?
— Ils ne sont pas démontrés, ce sont des vérités qui
sont admises sans preuve.
— Tu es en train de me dire qu’en mathématiques, tout
est justifié à partir de postulats qui sont admis sans démonstration.
— Euh, oui… Postulat, c’est le bon terme.
— Tu as un petit exemple ?
— Bien sûr, je peux te présenter le cinquième
postulat d’Euclide, vieux barbu grec qui a
2300 ans.
— Je t’écoute.
— « Si une droite tombant sur deux droites
fait des angles intérieurs du même côté plus
petits que deux droits, ces droites prolongées à
l’infini, se rencontreront du côté où les angles
sont plus petits que deux droits. » (Figure 1)
On connait mieux ce postulat sous la forme suivante
 : « Par un point du plan, on peut mener une
seule droite parallèle à une droite donnée. » Ce qui
permet de montrer que la somme des angles d’un
triangle vaut 180°.
— Et alors ?
— Et alors, Euclide démontre les 28 premières propriétés
de sa théorie sans utiliser ce postulat et il a comme
un doute, une hésitation sur le statut d’axiome de son
postulat.
— Mais encore ?
— Mais encore ? Il va transmettre le gène du doute à
des dizaines de mathématiciens durant deux millénaires.
— Oui bon, arrête de tourner autour du triangle et de
me faire lanterner avec des problèmes
existentiels de mathématiciens.
— Oh, y pas le feu, j’ai fait tout un weekend
à Saint-Roch Ferrières pour développer
ma rupture.
— Ta rupture ? C’est nouveau, tiens ça.
— Après des siècles et des siècles de tentatives infructueuses
pour démontrer ce fameux postulat, des
mathématiciens vont, comment dire : l’abandonner, le
contourner, le renier… Et au bout du compte…
— Et merde, tu m’avais promis du concret !
— Le postulat va garder son statut d’axiome indémontrable,
mais sa négation va déboucher sur de nouvelles
géométries… Et je te concrétise la chose de suite.
Écoute-moi bien.
— Prenons le plan euclidien habituel, « coupons-le » en
deux parties par une droite que nous nommerons h (figure
2
). Choisissons un des demi-plans π déterminé par
cette droite, la droite h n’appartenant pas au demi-plan.
— Dans ce demi-plan (appelé demi-plan de Poincaré),
on décide que les droites sont les demi-droites (au sens
euclidien) perpendiculaires à h (au sens euclidien) et
les demi-cercles (au sens euclidien) dont le centre appartient
à h. À la figure 2, on a représenté cinq droites
a, b, c, d, e.
— Tu appelles ça des droites ?
— Pourquoi cela te choque ? Tu sais ce que c’est une
droite ?
— Ben… Euh… Un ensemble infini de points alignés ?
— Tu dis bien un ensemble infini de points qui sont sur
une droite. Donc a, b, c, d et e sont bien des droites. Les
droites c et e sont sécantes. Tout comme les droites d et
e. Par contre, les droites b et c sont parallèles (les points
de h ne font pas partie du demi-plan… Tout comme les
droites c et d.
— Oufti !
— Et dans cet univers, par un point passe une infinité
de droites parallèles à une droite donnée et je peux
même dessiner un triangle [IJK sur la figure 3] dont la
somme des angles vaut 100°.
— Ouh lala, toi t’essayes de m’embrouiller et « de me la
mettre bien profond ».
— Il s’agit d’une rupture paradigmatique…
— Encore cette histoire de rupture… Soigne-toi mon
gaillard… T’en fais pas, « Une de perdue, dix de retrouvées
 ».
— Hé oh ! Je suis sérieux. Dans cette nouvelle géométrie,
le cinquième postulat d’Euclide n’est pas vrai
et de nombreux résultats de la géométrie euclidienne
habituelle ne sont pas vérifiés. Par exemple, le fait que
la somme des angles d’un triangle vaut toujours 180°.
— J’abandonne, je n’essaye plus de comprendre. Dismoi
plutôt ce que cela a à voir avec des jeunes à qui tu
es quand même censé apprendre des mathématiques
solides et non des élucubrations de matheux en mal de
sensations fortes.
— Bon, ben…
— Accouche mon gaillard ! Du concret !
— Quand on fait de la géométrie avec des jeunes et
qu’on leur demande de prouver un résultat, il n’est pas
rare de les entendre dire : « Mais enfin, c’est évident, ça
se voit ! » Et ils n’ont pas tort.
— Ah, si même un prof de math l’admet…
— Quand on les plonge dans une nouvelle géométrie
qui est non euclidienne parce que le cinquième postulat
d’Euclide n’est pas vérifié, les certitudes vacillent, la
réflexion commence. Il faut expérimenter, conjecturer
puis essayer de prouver.
— Encore du blabla…
— Ne sois pas de mauvaise foi. Revenons au demiplan
de Poincaré. Que vaut la somme des angles d’un
triangle ?
— 100° tu l’as montré !
— Pour déterminer l’angle entre deux côtés, on mène
les tangentes aux demi-cercles [faut-il rappeler que ce
sont des demi-cercles en géométrie euclidienne, mais
des droites dans le demi-plan de Poincaré]. On peut
faire plusieurs essais… Mais dessiner tout cela prend
du temps. On peut avoir recours à un logiciel comme
Géogébra. On représente trois droites (déterminées
chaque fois par deux points sur la droite h (bord du

« Les
certitudes
vacillent,
la réflexion
commence. »

demi-plan). On fait tracer les tangentes aux points IJK
(figure 3), on fait calculer les angles, leur somme et c’est
parti ! On peut faire varier les droites en faisant bouger
les points de départ. On observe… La somme des angles
varie strictement entre 0° et 180°.
— Et la preuve ?
— Comment, c’est toi qui réclame une preuve maintenant
 ? Ce n’est pas évident ! Il faut considérer des cas
limites, adopter une approche dynamique. On modifie
un paramètre à la fois et on regarde comment évolue le
triangle…
— Mouais…
— Tu veux connaitre la morale de l’histoire ?
— Ah oui, faisons un peu de morale, cela va me reposer
l’esprit. Tu veux me reparler de ta rupture ?
— Prenons le point de vue historique avec un grand H
comme humanité. Après vingt siècles de recherches,
après avoir usé des vies de mathématiciens, le cinquième
postulat va déboucher sur un changement de
paradigme en géométrie. Des mathématiciens comme
Gauss, Lobatchevski, Bolyai vont élaborer, dans un
souci purement et exclusivement mathématique, des
géométries différentes. Elles s’avèreront utiles (relativité
générale, théories de l’univers, par exemple) plus
tard.
— Au point de vue de l’histoire de l’élève avec un petit
h (rien à voir avec l’horizon du demi-plan), ce travail
permet de provoquer, d’introduire le doute, de rendre
nécessaire l’argumentation, de faire de la géométrie, des
mathématiques et de les faire au sens propre.
— T’inquiète pas, elle reviendra…

Pièces jointes