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Voici deux activités qui s’adressent à vous, lecteurs. Quand vous aurez terminé, nous en viendrons à quelques commentaires didactiques. Au travail !

Arithmogones

Complétez. On peut se servir de jetons pour matérialiser les points.

Carrés magiques

  1. Considérez les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Répartissez-les dans le tableau ci-dessous de sorte que la somme obtenue en additionnant les trois nombres d’une rangée (ligne, colonne ou diagonale) soit toujours le même.
    Y a-t-il plusieurs façons de compléter le carré ? Combien ?
  2. Faites de même avec les nombres de 1 à 25 dans un carré de cinq lignes et cinq colonnes.
    Puis pour les nombres de 1 à 25 dans un carré de quatre lignes et quatre colonnes.

Point de vue didactique

  1. Les activités proposées plus haut le sont à des lecteurs adultes mais elles peuvent être adaptées à des élèves de première [1] et deuxième primaire. Ce ne sont pas des activités de drill ou des exercices qui suivraient un enseignement plus systématique. Elles s’insèrent dans une suite de questions qui mènent à un apprentissage constructiviste [2] du nombre au 5-8.
  2. La question [3] qui se pose pour l’apprentissage du nombre, comme pour tout autre apprentissage mathématique par ailleurs, c’est : le nombre pour quoi faire [4] ?
    - Les nombres comme mémoire de la quantité : la comptine numérique sert d’intermédiaire pour comparer des collections. Associer une comptine à une collection, ce qui pose des problèmes de correspondance, de conservation, de balayage.
    - Les nombres pour comparer : beaucoup/pas beaucoup ; petit/grand ; plus que/moins que ; plus petit que/plus grand que. Comprendre que pour comparer deux collections, on peut utiliser la comparaison des nombres.
    - Les nombres pour partager : en 2 (double, moitié), en parts égales. Traduction avec des nombres, relations entre quantités (entre le tout et les parties).
    - Les nombres pour calculer : opérer sur les nombres pour prévoir le résultat d’une opération.
    Une quantité peut résulter de plusieurs quantités. « Surcompter » pour résoudre des problèmes additifs.

    Pour ce qui est de l’aspect « Compter », les difficultés sont :
    - Approche globale et orale : il y a des mots isolés puis ordonnés et des comptines.
    - Aspect algorithmique de l’écriture : par l’écrit plutôt que par l’oral avec un usage de nombres relativement important.
    - Groupement par dix : jeux d’échange ou de marchand.

    Pour ce qui est de « dénombrer et d’ordonner », les difficultés sont :
    - Mettre en jeu deux collections : comparer deux collections, réaliser une collection avec autant (ou le double ou le triple) d’éléments qu’une autre, compléter une collection pour qu’elle ait autant d’éléments qu’une autre.
    - Repérage ordinal : se situer ou se repérer dans une suite de cases.
    - Anticiper : se déplacer sur une piste graduée, réunir ou scinder deux sous-collections, partager en parts égales, échanger des objets de valeur différentes.

  3. À partir du moment où on sait à quoi servent les nombres, il faut les faire servir et le faire dans tous leurs usages si on veut que le nombre soit appréhendé dans sa totalité. Le nombre n’est pas qu’une écriture [5], un « nombre de », une position, un outil de comparaison, un moyen de calcul, une façon d’anticiper, une traduction de partage... Il est tout cela à la fois.

Rien ne justifie un apprentissage linéaire, nombre après nombre. Mais dans les différents problèmes considérés ci-dessus, les nombres apparaissent plutôt par famille.

De nombreuses questions, comme celles des deux activités présentées, sont issues d’un contexte numérique et il semble qu’elles motivent les élèves. Autant, voire plus dans certains cas, que des questions « de la vie réelle » qui paraissent artificielles quelquefois.

notes:

[1L’activité des arithmogones est empruntée à un manuel allemand de première année. Celui-ci a été traduit (ainsi que les manuels de deuxième et troisième) par un inspecteur belge, J. Maquoy. Il s’intitule Faire des math en première année et est publié aux éditions Erasme. Dans ce manuel, on peut également trouver une activité liée au carré magique d’ordre 3. Pour la solution de carrés magique d’ordre supérieur, le lecteur pourra consulter J.-L. Chabert (ouvrage collectif sous la direction de), Histoire d’algorithmes, Du caillou à la puce, Belin, 1994.

[2Pour plus de détails sur « Les modèles de l’apprentissage et les mathématiques », le lecteur pourra consulter un article de L. Dubois, instituteur suisse, sur le site http://www.edunet.ch/classes/c9/dubois/didact/theories.htm . Pour une illustration de l’apprentissage constructiviste, le lecteur pourra consulter E. Ging, H. Sauthier, E. Stierli, Mathématiques 1P et 2P (Fichiers de l’élève, livres du maitre, fichiers de classe et matériel de classe), COROME, 1996. À commander à COROME (Commission romande des moyens d’enseignement et d’apprentissage), Case postale 54 à CH. 2007 Neuchâtel (Suisse) ou à l’ASBL Éducaide (082 61.40.31), Av. Fr. de Lhonneux 14 à Yvoir (Belgique).

[3Cette question est plus de nature épistémologique que didactique.

[4Les réponses données ici sont extraites de Apprentissages numériques, Grande section de maternelle ; Apprentissages numériques, CP ; Apprentissages numériques, CE1 ; ERMEL, Hatier, 1990, 1991 et 1993.

[5Pour la question de l’écriture des nombres, le lecteur pourra consulter Stella Baruk, Comptes pour petits et grands, Vol. 1 et 2, Magnard, 2003.