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GPS, horloge digitale, balance Puisque l’être humain a eu l’intelligence de créer des machines qui travaillent pour lui, pourquoi diable faudrait-il encore passer du temps à mesurer à l’ancienne dans l’enseignement fondamental ?

Naël, cinq ans, reçoit un réveil digital pour son anniversaire. Le lendemain matin, il fait irruption dans la chambre de ses parents : ça y est, il a vu huit-zéro-zéro, il peut se lever ! « Maman, viens voir, je te montre ! » Mais à l’arrivée dans sa chambre, Naël éclate en sanglots en voyant le réveil qui affiche 8:04 : « Pourtant, je te jure, Maman, c’était huit-zéro-zéro ! ». Eh oui : Naël reconnait les chiffres et sait les lire, mais n’a aucune idée de ce qu’ils peuvent signifier. Et pour cause…

Plongée dans le monde du continu

Le monde de la mesure est loin d’être évident puisqu’il concerne l’univers du continu. Kesako ? Voici un exemple cher à Bernadette Guéritte-Hess [1] : si je vous place devant une assiette de sucres en morceaux et que je vous dis « donne-m’en trois », vous allez vous exécuter sans peine, saisissant l’un après l’autre les trois objets demandés : 1, 2, 3… Et voilà. Vous saviez bien ce que vous deviez compter, le un était sans équivoque. Mais si je vous présente une assiette de sucre en poudre et que je vous dis « donne-moi en trois », vous allez probablement me répondre « trois quoi ? ». C’est là toute la particularité du monde des grandeurs continues : si l’on désire les mesurer, c’est-à-dire leur associer un nombre, il faut définir le un, l’unité. Ce choix est arbitraire et durant longtemps, les hommes ont tergiversé sur la façon d’utiliser des référents. Pour un récipient par exemple : bombé, à ras bords ou avec un faux col ? Et au passage, ils ont arnaqué à souhait leurs interlocuteurs pas au clair avec cette question. Il y a deux siècles seulement, à l’époque de la Révolution française, le système métrique a homogénéisé cela, dans une volonté citoyenne forte de référents universels, immuables et fonctionnels pour la mesure. À tous les hommes, à tous les temps, comme le disait Condorcet. On se retrouve donc aujourd’hui avec des uns imposés pour mesurer les grandeurs : le mètre, le litre, le (kilo) gramme pour les grandeurs simples, le mètre carré et le mètre cube pour les aires et volumes, et bien d’autres encore pour tous les domaines de la physique.
Ouf, soulagement ! On sait donc par où commencer : « Les enfants, on va mesurer des longueurs et pour cela on va utiliser des centimètres. Ça se note cm. Regardez, cela correspond aux graduations de votre latte. » Et le tour est joué pour l’enseignant. Ou pas… Car tellement de difficultés se cachent derrière cet apprentissage apparemment anodin ! Décortiquons cela et voyons s’il n’y aurait pas un peu de travail préliminaire à mener dans les classes afin que tous les enfants accèdent au concept de mesure.

Le choix de l’étalon et l’unité de mesure associée

Pour mesurer une grandeur, je dois me choisir un objet de référence porteur de cette grandeur. Par exemple, pour mesurer une longueur, je choisis mon stylo et je m’intéresse en particulier à la longueur de mon stylo. Cette longueur, c’est ce qui va faire office d’unité de mesure. Proposer en classe des activités où les enfants doivent choisir eux-mêmes l’étalon qu’ils vont utiliser pour mesurer permet de confirmer leur perception de la grandeur en jeu (je pourrais utiliser le même stylo pour mesurer un poids — si j’ai une collection de stylos identiques — ou une capacité – en remplissant le capuchon). Leur faire argumenter leur choix les amène à construire leur regard critique sur cette question.

Le geste de mesurage

En parallèle avec l’identification de l’objet étalon qui sera utilisé pour mesurer, le fait d’exécuter le geste de mesurage plusieurs fois et sur des grandeurs différentes est un incontournable pour que les enfants comprennent ce à quoi correspondent des mesures qui leur sont données. Ce peut être des tâches de mesure d’objets imposés, par exemple en vue de comparaison de ces mesures : « Vos quatre équipes ont reçu chacune un récipient qui ne peut pas quitter la table sur laquelle il se trouve ; déterminez celui qui a la plus grande capacité. » Ce peut être également des défis de détermination de l’étalon, la mesure étant donnée (ainsi que des collections d’étalons potentiels) : « Trouve l’objet étalon qui a été utilisé pour peser ce jeu de cartes, en sachant qu’il pèse 19… »
Intervenante en formation initiale des enseignants, j’ai observé, à plusieurs reprises, des étudiants qui s’autorisaient des espacements entre deux reports de l’étalon, à cause de l’épaisseur de l’objet qui leur permettait de marquer l’endroit où ils étaient arrivés dans le mesurage. Quel sens donnaient-ils à leur conclusion de type « la taille de ce personnage est de 24 marqueurs » ? La détermination de la mesure demande de poser son geste avec rigueur et précision, de belles compétences pour la vie à exercer dans ce cadre particulier.

La construction et l’utilisation d’une graduation

Vous pourriez ensuite proposer aux enfants des situations de classe où le report de l’étalon s’avère fastidieux : trop de mesures à réaliser, ou mesurage d’objets trop grands par rapport à l’étalon. Cela vous permettrait de motiver l’utilisation d’instruments gradués. Mais avant d’utiliser un instrument de mesure gradué construit par une personne extérieure, il est intéressant d’avoir soi-même, un jour, construit une graduation. Il s’agit de garder une trace du report répété d’un étalon, la numérotation de ces traces permettant par la suite un accès rapide à la mesure. Il est à noter que les graduations sont toutes liées à l’univers des longueurs : pour les capacités, hauteur du niveau d’eau atteint dans un récipient ; pour les poids, graduations de l’extension du ressort d’un peson ; pour les amplitudes d’angles et le temps passé depuis minuit/midi, graduations le long du bord circulaire du rapporteur, de l’horloge ; quant aux calculs des aires et volumes, ils passent aussi par des longueurs. Prêter une attention toute particulière au travail de graduation de longueurs paraît donc important pour que les enfants puissent y prendre appui pour les autres grandeurs.

Un peu de proportionnalité inverse

Un enfant qui a dû faire lui-même le choix d’un étalon pour mesurer vous le dira : plus l’étalon est grand, plus le mesurage se fait vite, car moins il faut reporter l’étalon. Par contre, s’il s’agit d’être précis dans la mesure, alors l’utilisation d’étalons plus petits est intéressante ; le nombre de reports, c’est-à-dire la mesure, est dans ce cas plus grande. Pouvoir verbaliser cela, c’est déjà beaucoup. Dans l’activité évoquée plus haut où, une mesure étant donnée, il faut retrouver l’étalon, cette conscience du phénomène de proportionnalité inverse qui existe entre la mesure et l’unité de mesure est facilement observable : elle conditionne les choix successifs d’étalons compte tenu des mesurages déjà réalisés.

De l’estimation et des repères

Faites l’exercice : choisissez un meuble qui se trouve devant vous, et estimez-en une dimension. C’est fait ? Comment vous y êtes-vous pris ? Vous avez probablement choisi une longueur connue, comme la plus grande dimension d’une feuille A4 (30 cm), votre empan (mesure qui vous est propre), la largeur de votre livre de chevet (15 cm). Vous avez reporté mentalement cette longueur sur la dimension à mesurer, vous avez déterminé qu’elle y allait entre quatre et cinq fois (par exemple) et vous avez multiplié votre longueur repère par le nombre de reports. C’est ça ? On peut imaginer que certaines personnes n’accèderont pas à cette capacité à estimer si, d’une part, elles n’ont jamais reporté physiquement un étalon (avant de le faire mentalement) et si, d’autre part, elles n’ont pas, en plus des unités conventionnelles, un répertoire de repères mobilisables. Dans les classes, au fil des années, accompagner les enfants à se constituer de tels répertoires et à les utiliser contribue à forger des citoyens autonomes et critiques.

Et les abaques, alors ?

Cet article fait le choix de ne pas aborder les unités conventionnelles ni les conversions (avec ou sans abaque), sujets qui occupent souvent une bonne partie du temps scolaire consacré aux grandeurs. Comment expliquer que les activités évoquées ici sont peu fréquentes dans les classes ? Pourtant, via elles, les enfants ont l’occasion d’acquérir les notions de mesure, d’unité de mesure, de construire et d’utiliser des graduations, de percevoir l’intérêt d’unités multiples, de se réguler lors de conversions (dire que 20 mm = 200 cm n’a pas de sens, car les cm, c’est plus grand que les mm, donc il en faut moins pour mesurer), de se construire des repères et de les mobiliser pour estimer… Alors ? Dans certaines familles, les enfants cuisinent (a-t-on encore assez de sucre pour faire le gâteau ? je dois verser 20 cl de lait, mais mon pot est gradué en ml), bricolent avec leurs parents (l’étagère va-t-elle passer ici ? combien de buches peut-on tronçonner dans ce tronc ?), aménagent le jardin (où placer le poulailler en sachant qu’il faut prévoir 1,5 m² par poule ?). Immanquablement, ils se construisent un terrain cognitif capable de digérer une approche plus théorique des grandeurs qui pourrait faire oublier les réelles difficultés conceptuelles sous-jacentes, rencontrées pourtant par certains enfants de milieux populaires. Plaignons aussi les enfants high-techs : comme évoqué plus haut, posséder un outil numérique peut leur donner l’illusion de régner en maitre sur le monde de la mesure et les empêcher de se poser de vraies questions, de réaliser de vraies investigations.

notes:

[1B. Guéritte-Hess, B. et al., Les maths à toutes les sauces. Pour aider les enfants à apprivoiser les systèmes numérique et métrique, Le Pommier, 2005