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« Six pirates qui ne savent pas calculer te demandent de partager leur trésor. Ils veulent absolument que tout le trésor soit partagé et que chacun reçoive le même nombre de pièces d’or. » [1]

« Je vous propose quatre trésors différents : 100 pièces, 1000 pièces, 10 000 pièces et 1 000 000 pièces. Vous travaillez par deux, en écrivant sur une affiche le résultat du partage, comment vous l’avez trouvé, et les calculs que vous avez effectués. »
Chacun des dix-neuf élèves de 3e, 4e, 5e et 6e année de cette classe verticale annonce avec quel nombre de pièces d’or il va travailler, se trouve un compagnon de travail, et les recherches commencent. Certains procèdent par additions ou soustractions successives, en simulant la distribution d’une pièce d’or à la fois, ou par 10 ou 100 pièces chez d’autres. Parmi les élèves de 6e, ils sont deux à poser la division en calcul écrit. Après dix minutes d’activité, les affiches en cours de production sont exposées au tableau, éventuellement éclaircies par quelques mots, mais ne sont pas encore expliquées ni détaillées.
« Cherchez qui travaille comme vous ou presque comme vous. »
Le groupe qui partage le trésor pièce par pièce se rend compte qu’il y a moyen d’aller plus vite.
La disposition des élèves de 6e intrigue d’autres élèves, qui ne connaissent pas encore l’algorithme.
Le travail reprend, trois équipes achèvent rapidement leur affiche, avec une solution à proposer, pas forcément correcte. Afin de laisser aux autres le temps de continuer, je leur propose soit de chercher ce qui changerait sur leur affiche si on doublait le nombre de pièce d’or, soit de travailler avec un autre nombre de pièces.
Mise en commun : les affiches retournent au tableau, regroupées selon le nombre de pièces à partager.

Nombre de piècesPart de chaque pirateReste
100 16 4
1000 166 4
10 000 1666 4
1 000 000 166 666 4

Étonnement : le nombre de pièces restant en fin de partage est le même dans presque toutes les équipes (deux équipes n’ont pas trouvé la solution correcte, s’étant perdues dans les comptages en cours de route). De plus, les réponses se ressemblent très fort :
Ces indices permettent de se pencher sur les réponses divergentes et les résultats sont mis en doute.
Un élève de 4e s’exclame : « Je sais combien ça fera pour 100 000 pièces d’or ! » La jubilation s’installe. On sent qu’on peut prévoir le résultat du partage de plus grands nombres, si grands qu’on ne sait comment les dire ! Le côté fascinant de ces répétitions focalisera énormément l’attention des élèves, au détriment de l’exploration des procédures utilisées...
Quant à moi, je suis fasciné par l’intérêt que portent les plus jeunes de la classe à comprendre et tenter d’entrer dans les solutions des aînés face à des nombres qu’ils n’auraient jamais rencontrés dans une classe à niveau unique : « J’ai compris l’affiche des 5e, mais celle de Céline, je n’y comprends rien du tout, mais je sais que la réponse est juste. »
Des élèves s’inquiètent de ce qu’on ne puisse pas tout partager : « Mais qu’est-ce qu’on fait avec les quatre pièces qui restent ? » _ Les avis sont partagés :
- Les pirates nous les donnent pour nous remercier d’avoir partagé ;
- Ils les gardent dans le coffre pour le prochain partage ;
- Ils les jettent dans la mer et un requin géant les mange ;
- Ils les enterrent ;
- Je les prends et je ne le dis pas aux pirates.
Cette première séance d’activité se clôture par une recherche personnelle au cahier d’essais : prévoir le nombre de pièces à partager pour que le reste soit égal à zéro.

Deuxième assaut

Cette fois, les pirates ont dû braquer une banque, car au lieu de pièces d’or, ce sont des billets de mille, cent et dix euros, et des pièces d’un euro qu’ils ont à se partager. Les montants sont à nouveau différents selon les groupes d’âge, mais il y aura chaque fois des échanges à faire chez moi (1 billet de cent euros contre dix billets de dix par exemple). Ce passage à une représentation plus organisée du dividende marque une étape importante, car elle induit directement une autre manière de travailler. Plus question de distribuer des dizaines de pièces une par une... à m oins de venir tout échanger contre des pièces de 1 euro, mais cela personne ne l’a voulu !
Dans chaque groupe, un élève note sur une feuille les étapes de la résolution du partage : ce qu’on donne à chaque pirate, ce qui reste, ce qu’on échange... Le défi est de parvenir à trouver la solution en pratiquant le moins d’échanges possible.
On affiche les parcours et solutions trouvées. Pas la peine de noter de longues phrases : « Il reste cinq pièces à partager » peut être écrit « Reste 15 ». L’écriture commence à se simplifier, tout en perdant en universalité. Nous nous comprenons, mais il n’est plus certain qu’une personne n’ayant pas participé à l’activité comprendra les affiches.
Après trois partages, la procédure tourne assez facilement dans toutes les équipes pour lancer l’étape suivante : faire de même, mais sans le support des pièces et billets. Pour les élèves de 5e et 6e, je propose de faire le travail sans aucun support écrit, en travaillant avec les mêmes nombres que les élèves de 3e et 4e. Je souris en les voyant s’organiser : qui retiendra les milliers, les centaines, qui récitera la table jusqu’au produit souhaité... Tout ceci dans le but d’épurer encore l’algorithme qui mène du dividende au quotient.

Ultime épuration

Troisième séance, avec les élèves de 5e et 6e : j’ai préparé des tableaux qui préfigurent la disposition de la division écrite à laquelle nous avons été habitués. La plupart des éléments sont repris en droite ligne des affiches précédentes, en simplifiant encore : pour chaque étape, deux lignes dans le tableau : la division, et le reste à transformer dans le rang inférieur.
L’adaptation à cette nouvelle représentation, imposée, tout en étant suffisamment proche de celle élaborée précédemment, se fait au travers de quelques nouveaux exercices. Elle permet de gagner en régularité dans le travail (on procède chaque fois de la même manière), et amène à se concentrer sur le procédé, rien que le procédé.
Tout est prêt alors pour la dernière étape, qui verra la suppression de tous les mots qui restent encore : ne plus écrire « reste =... » mais le calculer directement par une soustraction écrite.
Ainsi, d’étape en étape, les pirates qui ne pouvaient au départ effectuer un partage simple, disposent à présent d’un algorithme qui leur permet d’envisager la division de n’importe quel nombre par un entier.

notes:

[1Cette démarche est adaptée de l’excellent Apprentissages numériques à l’école élémentaire, ERMEL CM1 et CM2, Editions Sermap Hathier