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Arrive-t-il à un prof de math de faire évoluer sa pratique au cours d’une longue carrière de 30 à 40 ans ? Arrive-t-il à un prof de math de prodiguer un enseignement différent de ce qu’il a reçu ? L’enseignement des mathématiques évolue-t-il ? Est-il à même de le faire pour répondre aux défis d’aujourd’hui ? Quels sont les défis d’aujourd’hui ?

L’enseignement des mathématiques a une histoire particulière, quelquefois étrangère à celle de la discipline mère, quelquefois proche. Fin du 19e siècle, CANTOR crée la théorie des ensembles. C’est l’apparition de plusieurs paradoxes. C’est le développement important et la diversification des mathématiques en plusieurs branches. Ce manque d’unité entre elles et ce foisonnement créent un problème de fondement [1]. La solution va venir de cette même théorie des ensembles, sous la houlette notamment des BOURBAKI. Tirée de quelques axiomes seulement, elle va servir de base, de racine à d’autres théories auxquelles viendront se greffer d’autres théories encore. Et constituer l’arbre mathématique allant des structures pauvres (peu de propriétés) aux structures riches.

L’enseignement devait suivre ce mouvement important. Dans les années 50-60, on enseignait toujours la bonne vieille géométrie d’EUCLIDE (300 ans avant J.-C.) et l’algèbre des 16e et 17e siècles. Une réforme est venue en 58-59 de l’OECE (Organisation européenne de coopération économique), avec la participation de mathématiciens renommés.
En Belgique, c’est une révolution qui a eu lieu sous la poussée d’un petit groupe à la tête duquel se trouvait le mathématicien PAPY. Les grands axes de ces mathématiques dites modernes étaient :
- enseigner rigoureusement (au sens moderne) les structures (théories axiomatiques fondamentales) ;
- commencer par les ensembles (on a vu apparaitre des « patates et des flèches » dès l’école primaire) ;
- enseigner des concepts définitifs (construction du savoir par accumulation) ;
- la simplicité (structures pauvres, on pensait qu’il y aurait moins d’échecs) ;
- des élèves actifs (à la suite de PIAGET, le savoir se construit) ;
- un enseignement démocratique (pas de barrière de la langue).

L’état du pigeonnier

La réforme des maths modernes n’a pas été une réussite et elle a dégouté de nombreux jeunes des mathématiques. On peut relever quelques éléments de cet échec :
- la pauvreté du contexte (des concepts nus, sans rapport avec d’autres réalités, un enseignement apparu comme dogmatique) ;
- des structures trop longtemps inopérantes (entre le moment où elles sont étudiées et le moment où elles sont appliquées, transférées et donc bien comprises, le chemin est long) ;
- l’aridité des structures (abstraites, absconses, difficiles, présentant un niveau formel et symbolique élevé) ;
- la canalisation de la pensée (ces théories sont déductives et s’installent pas à pas en laissant peu de place à l’expérience quotidienne et au savoir existant de l’enfant).
Dans les années 80, les programmes soulignent l’importance d’une véritable activité de l’élève. On désire mettre les élèves en recherche, de façon progressive, sur des situations-problèmes pour donner l’occasion de faire des mathématiques et donner l’occasion de découvrir. On cherche à favoriser le caractère instrumental des outils conceptuels abordés et à rendre le jeune capable d’utiliser ces outils. Pour répondre à l’écueil du sens, il s’agit encore d’insérer, dans la mesure du possible, les concepts dans des contextes riches. Ces contextes sont tirés du quotidien, d’une autre discipline scolaire ou des mathématiques elles-mêmes. On préconise enfin la construction du savoir plutôt que sa transmission ou un apprentissage behavioriste. C’est aussi un enseignement en spirale [2], ce qui signifie que l’on revient plusieurs fois sur les mêmes notions en prenant chaque fois plus de hauteur.

Dans les années 2000, suite au décret Missions de 1997, les programmes sont revus pour correspondre à une approche par compétences qui rende les élèves aptes à apprendre à apprendre toute leur vie. Loin d’une réforme, il s’agira, dans l’enseignement secondaire, de quelques réformettes successives pour polir les textes et les conformer au nouveau décret. Les concepteurs des programmes mathématiques estimant que les matières mathématiques ont, par elles-mêmes, valeur de compétences.

Les convoyeurs attendent

Calmes, sereins, tranquilles, convaincus que les mathématiques sont immuables, persuadés que les bonnes vieilles recettes pédagogiques sont les meilleures, assurés que la théorie et les démonstrations conviennent aux plus forts, surs que le drill rassure et permet aux plus faibles de réussir, les profs de math regardent passer les réformes en s’en moquant ? Pourtant, depuis les années 80, de nombreuses armadas de chercheurs en histoire et épistémologie des mathématiques, en didactiques des mathématiques et en pédagogie foisonnent dans les pays occidentaux et donnent les pistes à suivre.
« L’enseignement des mathématiques et ses entours, d’une part, et la recherche sur l’enseignement des mathématiques, d’autre part, sont deux systèmes largement non communicants : le premier semble se soumettre entièrement à lui-même, repoussant la recherche au-delà de son horizon vital, tandis que le second n’échappe pas toujours à la tentation académique, qui pousse certains chercheurs à se situer en surplomb par rapport à leur objet d’étude même. » [3] Faisant le parallèle avec la médecine, Yves CHEVALHARD ajoute encore que « Le médecin est impuissant tant que la science médicale est impuissante : le premier est, pour le meilleur et pour le pire, au diapason de la seconde. Rien de tel n’est vrai aujourd’hui en fait d’enseignement, où la science didactique reste méconnue et parait même indésirable, les enseignants étant censés tirer de nulle part les outils d’une action dont le passif comme l’actif sont mis presque entièrement à leur compte propre. »
L’enseignement primaire est peut-être plus perméable à la recherche didactique… D’aucuns ont jeté les colonnes de calcul et l’apprentissage linéaire des nombres, d’autres (ou les mêmes) sont passés par les manipulations et les mises en contexte dans la vie réelle. Mais certains ont multiplié les sorties, les activités, les défis, les approches ludiques au point de ne plus avoir le temps de la structuration des concepts abordés.

Pigeon vole

Contrairement à ce qu’en pensent pas mal de gens, la fonction première de l’enseignement des mathématiques n’est pas de susciter des vocations de mathématiciens : il y en aura toujours avec ou sans cours de math. Ni de préparer aux études supérieures : beaucoup n’y ont pas accès et il reste à prouver que les programmes actuels sont idoines à cette mission. Le défi majeur aujourd’hui est, et reste, non seulement de faire acquérir les mathématiques indispensables à la vie de tous les jours dans le domaine des nombres, des grandeurs et de la géométrie élémentaire, mais également de donner à tous les publics, des concepts qui leur permettent d’exercer leurs droits et devoirs de citoyens, individuellement et collectivement. Pour le reste, il faudrait peut-être envisager l’enseignement des maths principalement comme pourvoyeur d’outils réinvestissables, comme moyens de connaissance et d’action.

Il nous manque des programmes guidés par des choix clairs et justifiés, autre chose que des compromis visant à satisfaire toutes les composantes du métier. Il nous manque des profs de math. Il nous manque des profs de math qui ont une culture mathématique englobant l’histoire des concepts enseignés. Il nous manque des recherches épistémologiques susceptibles de mettre en avant les obstacles rencontrés par les anciens et les seuils à franchir pour passer de l’objet mental premier de l’apprenant au savoir constitué du mathématicien. Il nous manque une bonne possession des étapes du transfert didactique…

notes:

[1N. ROUCHE, L’enseignement des mathématiques d’hier à demain, CREM, 1995.

[2C’est le terme généralement utilisé mais l’image de l’hélice convient peut-être mieux.

[3Y. CHEVALHARD, Médaille Hans Freudenthal 2009, L’enseignement des mathématiques à un carrefour, http://educmath.inrp.fr/Educmath/la-parole-a/yves-chevallard.