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La structure de certains manuels et les activités qui y sont proposées pourraient laisser croire que l’essentiel de l’activité mathématique doit être l’application de méthodes, de bons automatismes, sans passage par la case de la réflexion.

Dans l’article « Qu’est-ce qu’un bon manuel de mathématiques ? » (2006) [1], nous mettions l’accent sur certains critères de qualité que nous attendions d’un manuel de mathématiques, tels l’absence d’erreurs, le développement de la pensée autonome, un équilibre entre le sens et les procédures... Et quand certains de ces critères ne sont pas vérifiés, que faire ?
Nous donnons quelques exemples ci-dessous. Ils sont issus, en substance, de manuels, qui ne sont pas cités pour éviter de les pointer du doigt. Ces exemples ont été choisis dans le domaine de la géométrie au secondaire inférieur, mais les principes énoncés sont assez généraux et applicables à d’autres contenus et d’autres niveaux. Ils sont toujours suivis d’une proposition d’amélioration.

De la constatation docile à la conjecture réfléchie

Le découpage des activités en mini-tâches pour faciliter le guidage des élèves est, à mes yeux, le défaut le plus courant et le plus gênant : les élèves sont menés par le bout du nez sans voir où ils sont censés arriver. Ils exécutent, ils constatent, ils remplissent des tableaux et des pointillés...
Voici une activité d’un manuel de deuxième secondaire. Les élèves savent déjà construire l’image d’une figure par une isométrie (symétries, translation, rotation). L’objectif est ici de leur faire découvrir l’effet d’une isométrie sur les coordonnées d’un point. C’est une activité que l’on rencontre souvent.

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On demande ensuite d’appliquer sur un autre triangle ce que l’on a constaté.

Dans la suite du manuel, on trouve le même type de questions, dans le même ordre, pour la symétrie orthogonale d’axe x, puis pour la symétrie centrale de centre (0 ;0), puis pour la rotation de 90° de centre (0 ;0), et enfin pour la translation. Quand un manuel tient une démarche...
Si l’élève fait ce qu’on lui demande pour la symétrie orthogonale d’axe y, il dessine, il repère les coordonnées, il remplit puis observe un tableau, pour constater docilement une relation. Ensuite, il applique une règle non justifiée, non illustrée. À aucun moment, l’élève ne peut remettre en doute ce qu’il découvre. Ce morcellement de ce que devrait être l’activité principale peut avoir pour conséquence qu’un élève scolaire, au moment d’observer et d’appliquer, peut très bien ne pas faire de lien entre la symétrie orthogonale d’axe y et les transformations de coordonnées, être “dans la tâche” sans prendre le recul qu’on espère lui voir prendre. Par ailleurs, il n’a pas l’occasion de se poser la question de ce lien avant qu’on lui demande de le constater : il ne connait pas le but de l’activité.
Enfin, pour les autres transformations, il doit effectuer le même type de démarche sans se poser plus de questions. Les questions posées manquent d’enjeu, la tâche demandée à l’élève manque de réflexion.
Comment faire autrement ? Voici quelques propositions.

Permettre l’observation, mais éviter la constatation aveugle

Cacher à l’aide d’une tache, envoyer un point hors champ sont des idées pour encourager l’élève à s’imaginer une situation et à rechercher la relation visée.

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Pour trouver les coordonnées de B’ et C’, l’élève ne peut pas que constater : B’ sera caché par la tache et son abscisse n’est pas lisible, tandis que C’, P et P’ sont hors du cadre. Il peut s’inspirer de la situation de A et A’, mais c’est alors lui qui choisira de constater dans un but précis : déterminer les coordonnées des autres points.

Faire conjecturer

Quand on a trouvé la relation pour la symétrie orthogonale d’axe y (le point de coordonnées (x,y) est envoyé sur celui de coordonnées (−x,y)), on peut poursuivre avec la question suivante.

Quel est le lien entre les coordonnées d’un point et celles de son image par la symétrie orthogonale d’axe x ?

C’est alors l’élève qui doit prendre un exemple, dessiner ou se représenter mentalement, avant de conjecturer (émettre des « hypothèses », comme on le dit dans le langage courant).

Varier les démarches

a) On a appliqué une isométrie au triangle ABC ci-dessus. Voici comment les coordonnées de ses sommets ont été transformées : (x,y) -> (−x,−y). Quelle est cette isométrie ?
b) Une translation envoie le sommet C du triangle ABC ci-dessus sur le point C* de coordonnée (104, 52) ; quelles sont les coordonnées de A* et B*, images de A et B par cette même translation ?

Montrer l’enjeu, donner des défis, laisser réfléchir, travailler les images mentales, éviter la monotonie sont autant de critères qui peuvent inspirer des variations au départ d’une activité de manuel.

Du non-sens habillé au sens mathématique

De l’habillage, on en voit beaucoup dans les manuels de mathématiques. À croire que les maths enseignées n’ont pas de sens en elles-mêmes et qu’il faut leur mettre un déguisement pour qu’elles soient plus digestes, plus amusantes. Mais les situations concrètes inventées pour décorer les notions ne sont pas souvent pensées pour les éclairer. Des planètes qui s’interpénètrent pour introduire, sans question, les positions relatives des cercles (sécants, tangents, disjoints...), des folioles opposées pour introduire des angles opposés par le sommet, des glaçons qui entrainent, chacun, une baisse de la température d’un degré dans un verre d’eau, quelle que soit sa température initiale. Que de contextes non porteurs, alors que le sens mathématique et l’utilité réelle des notions et théories permettraient de donner un enjeu à l’apprentissage.
L’activité qui suit, non extraite d’un manuel, donne un exemple de situation purement mathématique qui permet de faire réfléchir aux différentes positions relatives de deux cercles et aux conditions pour les obtenir.

Le sens est souvent à l’intérieur des maths.

La problématique des positions relatives de deux cercles constitue une belle situation de réinvestissement de l’inégalité triangulaire et peut provoquer la réflexion et développer la mobilité d’esprit.

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Il faut chercher un peu. Si le rayon de C2 est suffisamment petit, les deux cercles seront disjoints. On peut gonfler le cercle jusqu’à ce qu’il atteigne l’autre cercle. Quelle est la limite que r2 ne peut pas dépasser ? Comment la calculer ? Et puis, ce rayon ne peut-il vraiment pas être plus grand ? Beaucoup plus grand au point que le cercle C2 englobe le cercle C1 ? Quelle limite r2 doit-il dépasser pour cela ? Comment la calcule-t-on ?
Si les deux cercles ont deux points d’intersection, un de ces points, A, est le sommet d’un triangle O1O2A, avec |O1A| = r1 et |O2A| = r2. On comprend que r2 doit être strictement supérieur à 2 cm (soit |O1O2| − r1) et on peut relier cette condition à l’inégalité triangulaire
|O1A| + |O2A| > |O1O2|.
Mais r2 ne peut pas être trop grand. Il doit être inférieur à 10 cm (soit |O1O2| + r1) et on peut aussi revoir que |O1O2| + |O1A| > |O2A|.
Finalement, ce qui fait l’intérêt de ce contenu (les positions relatives de deux cercles), c’est la réflexion qu’il permet et les liens entre les propriétés, celle du triangle et celle des cercles. Et ces dernières propriétés n’auront aucune utilité dans un contexte de planètes qui s’interpénètrent, d’autant que celles-ci ne s’interpénètrent jamais.

De la démonstration d’évidences à la recherche

En troisième secondaire, les élèves apprennent à établir eux-mêmes des démonstrations dans un contexte de triangles isométriques. Dans la très grande majorité des situations de démonstrations proposées dans les manuels, les triangles isométriques sont donnés, et leur superposabilité semble évidente, comme dans l’exemple classique suivant.

Les élèves n’apprennent alors pas à repérer les triangles isométriques, ce qui est pourtant une com- pétence utile, car l’isométrie des triangles est souvent un outil pour établir des égalités (de longueurs par exemple). De plus, les situations sont presque toujours statiques : rien ne bouge, on ne voit pas la figure dans toute la généralité qu’elle représente (ici, tous les parallélogrammes, quelle que soit leur forme). La démonstration ne se présente que comme un exercice difficile et inutile : pourquoi faut-il démontrer des choses évidentes ? On n’apprend pas à voir, à formuler des conjectures, à les éprouver, on ne démontre pas pour convaincre.

Du statique au mouvement

Il suffit parfois de changer peu de choses pour permettre aux élèves de chercher eux-mêmes les triangles isométriques, voire de les fabriquer. Penser à faire varier une figure peut être une piste pour cela.

Tout en cherchant, les élèves peuvent se demander quels critères doivent être respectés pour que l’on obtienne deux triangles isométriques. On peut alors discuter des propositions. Et la démonstration arrive comme une argumentation pour convaincre les autres de sa solution.
Ce type de variation à partir de l’énoncé d’un manuel peut s’appliquer à beaucoup d’exemples.
On pourrait aussi modifier autrement l’énoncé d’origine en demandant s’il est possible de déformer le
parallélogramme pour que les quatre triangles ABE, BCE, CDE, ADE soient tous isométriques. Un exercice classique peut en inspirer un autre, plus ouvert.

De l’erreur à la critique

Des erreurs, des fautes de frappe ou de calcul, on peut en trouver dans presque tous les manuels. Mais parfois les erreurs sont vraiment gênantes. Pourrait-on tout de même les exploiter ?
Par exemple, dans certains livres de troisième secondaire, on découvre la « proposition » suivante, accompagnée d’un dessin permettant de compléter les hypothèses d’alignement et d’ordre.

Avez-vous repéré l’erreur ? Qu’en faire en classe ? Une possibilité serait de la signaler aux élèves, de leur demander de la corriger. Une autre est demander aux élèves de réagir.

Expérimenter, s’étonner, corriger

Illustrez la proposition du manuel à l’aide de Meccano (pour les deux droites AB et A′B′) et d’élastiques (pour les trois droites AA′, BB′, CC′).

Dans un premier temps, il y a fort à parier que les élèves s’arrangent pour trouver un exemple qui illustre la propriété (qui vérifie l’hypothèse et la thèse), car « si le manuel le dit, c’est que c’est vrai » : après avoir choisi les longueurs en respectant les hypothèses, après avoir noué les élastiques, ils inclinent les Meccano jusqu’à ce que les élastiques paraissent à peu près parallèles (photo 1, ci-dessous). C’est ce qui s’est passé dans une classe de 3e secondaire et en formation initiale d’enseignants. Cela peut être l’occasion de préciser ce que signifie la proposition, car elle cache un implicite : l’implication doit être vraie quels que soient les points alignés A, B, C et A′, B′, C′ (dans le même ordre). Or, si l’on ne « triche » pas pour forcer le parallélisme, il ne se présente pas (photo 2, ci-dessous).

Photo 1
Photo 2
Photo 3

La proposition est donc fausse. Voilà qui est étonnant ! Une trace de l’expérience est gardée au cahier (photo 3, ci-dessus). Il faut corriger la proposition, y ajouter une hypothèse. Et l’expérience peut être un point d’appui car, dès que deux élastiques sont parallèles, les trois le sont.

Lors de cette activité, on utilise le mouvement pour déformer et faire varier une situation. On apprend ce que signifie une implication et comment un contrexemple peut la contredire.
Une erreur dans un livre peut donner l’occasion, pour les élèves, de prendre du recul sur ce qui est affirmé. Ils développent ainsi, dans la foulée, un esprit critique.

De la règle au sens

Terminons par un dernier travers de beaucoup de manuels (pas de tous heureusement) : une fâcheuse tendance à demander de retenir des règles sans argumentation, sans illustration, bref sans leur sens. Même quand une théorie a été établie à l’aide d’une activité porteuse de sens, les manuels présentent la synthèse dépouillée, laissant clairement entendre que ce qui importe en mathématiques, c’est l’application de règles. Le sens est d’ailleurs également souvent absent des exercices d’application. Quel dommage !
Pour que les élèves gardent quelques souvenirs des argumentations, des démarches et des images mentales mises en place et se rendent comptent que tout cela est aussi important, voire plus, que l’étude et l’application de règles, il faudrait compléter les synthèses des manuels et annoncer aux élèves qu’ils seront autant interrogés sur ces représentations ou sur ces justifications que sur les règles et leur application.

De toutes les idées données pour modifier des activités de manuels, aucune ne simplifie la tâche des élèves. Au contraire ! Car, enfin, pourquoi aime-t-on les maths ? La réponse ne devrait pas être « parce qu’il suffit d’appliquer des règles et que, si on suit bien la recette, c’est facile ». Sinon, on aura loupé le coche, on sera passé à côté de l’essentiel : l’apprentissage de la pensée autonome, de l’argumentation et la conscience que la rencontre d’une difficulté peut être le début d’une aventure de pensée.

notes:

[1Th. Gilbert, B. Jadin, N. Rouche, Qu’est-ce qu’un bon manuel de mathématiques ?, Mathématiques et Pédagogie n°158, SBPM, 2006.

Pièces jointes