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Comment l’enseignement de la géométrie a-t-il évolué depuis cent ans ? Voyons d’abord ce qui s’est passé du début du XXème siècle jusqu’aux environs des années 60’.

À l’école primaire et au début du secondaire, on enseignait un peu (très peu) de géométrie : essentiellement les définitions des figures élémentaires, ainsi que quelques formules pour les périmètres, aires et volumes. À partir de treize ou quatorze ans, on enseignait à peu près partout la géométrie d’Euclide. C’est une géométrie entièrement déduite d’un tout petit nombre d’axiomes, ce qui oblige à démontrer tout un lot de propriétés évidentes par ailleurs. De nombreux élèves digéraient mal cet enseignement.

À partir des années 60’, il y a eu la réforme dite des mathématiques modernes. Celle-ci a, pour le dire rapidement, privilégié l’algèbre par rapport à la géométrie et largement négligé l’étude des figures. Les élèves étaient alors, dans une large mesure, privés d’un accès raisonné à beaucoup de formes de l’univers familier.

Depuis les années 80’, c’est-à-dire après la retombée des mathématiques modernes, l’enseignement de la géométrie s’est rééquilibré, sans toutefois échapper à de multiples controverses sur les rôles respectifs des figures, des transformations, de l’intuition, de la déduction.

Le CREM (Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques ASBL) [1] a tenté depuis quelques années de montrer une manière cohérente de faire de la géométrie, en s’appuyant certes sur la déduction, mais aussi sur les autres moyens de pensée que le sens commun mobilise spontanément. Pour expliquer ce que nous entendons par là, le mieux que nous puissions faire dans le cadre nécessairement restreint d’un article comme celui-ci, c’est de donner un exemple.

Des cercles à angles droits

Si on fait de la géométrie, c’est pour comprendre des phénomènes qui ne vont pas de soi. En voici un. Soit un cercle et un de ses diamètres (figure 1). Joignons un point A du cercle aux extrémités du diamètre : il semble bien que nous obtenions un angle droit. Mais ce n’est pas évident. Recommençons avec d’autres points (figure 2) : on dirait que nous obtenons toujours un angle droit. Ce qui est sans doute vrai, puisque nous l’avons fait plusieurs fois et que cela a toujours été le cas.
Mais à quoi est-ce dû ?

Reprenons la figure 1, et ajoutons-y le diamètre issu du point A (figure 3). Pourquoi faire cela ? C’est un peu l’inévitable œuf de Colomb : le coup de pouce qu’il faut donner aux élèves. Ceci fait, les deux diamètres qui se croisent sont deux segments égaux qui se coupent en leur milieu. Inscrits comme ils sont dans le cercle, on ne les voit pas tellement bien. Redessinons-les à part (figure 4).

Pour les voir encore mieux, redressons-les, de sorte qu’ils aient la même inclinaison : c’est ce que montre la figure 5. Dans cette position, on voit clairement que les extrémités des segments sont les sommets d’un rectangle (figure 6). Autrement dit, et de manière générale, si deux segments égaux se coupent en leur milieu, leurs extrémités sont les sommets d’un rectangle.

Bien entendu, cette propriété demeure vraie si les deux segments sont disposés de façon quelconque, par exemple comme sur la figure 4. La figure 7 est la figure 4 complétée : elle montre un rectangle.

Revenons maintenant à notre problème initial et à la figure 1. Nous pouvons y dessiner un rectangle : voir figure 8. Et donc l’angle en A est droit !

Maintenant nous comprenons pourquoi un angle inscrit dans un cercle et interceptant un diamètre est droit. Et d’avoir compris pourquoi nous montre aussi que ce sera toujours vrai.

Voir à la verticale

Pour arriver à cette conclusion, nous avons mobilisé des moyens de pensée qui ne sont pas admis dans la géométrie telle qu’on l’enseigne habituellement. Nous avons disposé notre figure clé (les deux segments qui se coupent en leur milieu) devant nous de façon qu’un de ses axes de symétrie soit vertical et contenu dans le plan de symétrie de notre appareil visuel. C’est cela qui nous a permis de voir (pas de déduire) que les extrémités des segments étaient les sommets d’un rectangle.

On voit ici intervenir dans la pensée géométrique, de manière explicite ou implicite, des éléments que refusent les mathématiques « officielles » :

- la verticale (c’est de la physique, c’est la direction de la pesanteur) ;
- le plan de symétrie du corps humain, qui est habituellement vertical (c’est plutôt de la physiologie et de la psychologie appliquée : on voit mieux les choses quand elles sont placées par rapport à soi dans une position privilégiée) ;
- la possibilité de déplacer les figures vers des positions non privilégiées, sans qu’elles perdent leurs propriétés (ce qui fait penser à la conservation « à la Piaget ») ;
- et enfin, le fait de chercher une explication (une preuve) dans une évidence à portée, plutôt que dans un catalogue d’axiomes convenu à l’avance.

Pourquoi refuserait-on de tels moyens de pensée aux débutants ? Pourquoi les refuserait-on aux élèves et étudiants plus avancés, même si, à partir d’un certain âge, on exige en outre d’eux une mise en forme plus classique et certainement nécessaire ?

ps:

Le lecteur qui voudrait en savoir davantage sur cette géométrie que nous appelons ’naturelle’ pourra consulter les deux volumes suivants :
- Formes et mouvements, perspectives pour l’enseignement de la géométrie, CREM, 2001.
- Construire et représenter, un aspect de la géométrie de la maternelle jusqu’à 18 ans, CREM, 2001.

notes:

[1Le CREM : 5 rue Émile Vandervelde, 1400 Nivelles, tél. 067/21 25 27.