Apprivoiser l’aléatoire

Vivre des expériences aléatoires est une voie de découverte et d’apprentissage d’outils relevant du traitement des données et de la statistique descriptive. Un bon moyen de faire des probabilités alors que les programmes actuels (et à venir) les ont (auront) oubliées. «,»Public cible
Fin du primaire et début du secondaire.
Enjeux
La notion de hasard grâce à un objet familier : le dé. Il s’agit d’un état des lieux des conceptions initiales des élèves quant à cette notion.
La notion d’expérience aléatoire.
La notion de fréquence.
Le choix d’un graphique adapté à l’expérience et la construction d’un graphique en bâtonnets.
De façon intuitive et suivant le niveau de la classe (pas forcément en primaire), il pourra être fait mention de la variabilité des résultats d’un élève à l’autre, ce qu’on appelle la fluctuation d’échantillonnage.
Matériel
Un dé par élève.

Consignes pour les élèves

1 Lance un dé cubique 10 fois de suite et note tes résultats dans le tableau suivant.

2 Recueille les données de tous les autres élèves de ta classe.

3 Par groupe de 4, observez ces données et formulez le plus de remarques possibles.
Dans le groupe, comparez vos résultats.

4 Bilan : complète ce tableau avec les données de tous les élèves de la classe.

Réalise ensuite un graphique en bâtonnets pour illustrer ce tableau sur papier quadrillé ou millimétré.

5.1 Place ces évènements sur la « ligne de probabilité ».

a) Il va faire noir ce soir.
b) Si je lance une pièce, elle va retomber sur « pile ».
c) La reine d’Angleterre va venir prendre le thé chez moi cet après-midi.
d) Il va neiger en aout.
e) Le soleil va se lever demain matin.
f) Un chien va se mettre à parler.
g) Un enfant qui va naitre sera un garçon.
h) Je regarderai la télévision ce soir.

5.2 Place les évènements suivants relatifs au lancé d’un dé sur la « ligne de probabilité ».

a) Obtenir 6 en un lancer.
b) Obtenir 2 ou 4 en un lancer.
c) Obtenir un nombre pair en un lancer.
d) Obtenir 1 et 3 en un lancer.
e) Obtenir 1 et 3 en deux lancers.
f) Obtenir un nombre compris entre 2 et 6 en un lancer.
g) Obtenir un nombre plus grand que 3 en un lancer.
h) Obtenir 6 en 3 lancers.

6. Voici les résultats de 2 autres classes sous forme de tableau et de graphiques. (Chaque élève a lancé 6 fois le dé).

Classe 1 de 20 élèves


Classe 2 de 25 élèves


Par groupe de 4, en s’intéressant seulement aux lancers qui ont donné la face 4 et la face 6, comparez les résultats de ces 2 classes.
Comparez ensuite les résultats de ces classes avec la vôtre.

7. Bilan

Éléments de solutions (consigne par consigne)

1. Plusieurs expérimentations ont eu lieu, notamment en 4^e et 6^e professionnelle, ainsi qu’en 5^e et 6^e qualification. Mais nous ne ferons ici référence qu’à l’expérimentation en 2^e différenciée (2D dans la suite) dans la classe de Camille Delvaux à Herve et en 5^e et 6^e primaire (P5&6 dans la suite) dans la classe de Virginie Daspremont à Éaussines. Dans la version expérimentée, nous avions repris les numéros de face dans la première ligne du tableau et nous faisions lancer 6 fois le dé. En 2D, il y a eu confusion pour nombre d’élèves entre les résultats (de 1 à 6) et les effectifs (de 0 à 3 pour 6 lancers). En P5&6, la confusion s’est faite entre les résultats (1, 2, 3, 4, 5, 6) et les numéros de lancers (1^er, 2^e, 3^e, 4^e, 5^e, 6^e).
Nous avons pensé entre autres à des moyens d’y remédier :
Dans la première ligne du tableau, noter chaque issue avec une image de la face du dé correspondante.
Faire procéder à un plus grand nombre de lancers. Mais avec le risque de voir disparaitre des effectifs de 0. Et on voulait éprouver l’idée que « si on lance 6 fois, chacune des faces de 1 à 6 va sortir ».
Garder trace du résultat des lancers avec des petites croix ou des petites barres et les comptabiliser par la suite.

2. La figure 1 montre le tableau dressé en 2D. En P5&6, un premier tableau (fig. 2) reprend d’abord les résultats, lancer par lancer, puis est reconverti dans un autre tableau (fig. 3) qui reprend les effectifs de chaque face du dé.

fig. 1

fig. 2

fig. 3

3. Le cadrage de cette consigne est assez faible. En cas de difficultés des élèves, on peut ajouter des précisions. Du fait de ce cadrage faible, il faut s’attendre à tous types de réponses de la part des élèves, sans qu’on puisse juger de leur pertinence. Ce qui n’empêche pas une remise en cause par le groupe classe de chaque affirmation et un débat.
Voici quelques écrits d’élèves de 2D :
Le 1 revient beaucoup.
Le 4 ne revient pas.
7 personnes n’ont pas eu le 5.
Sam et Tania ont eu la même répartition.
Minimum tous les élèves ont un 0.
Personne n’a minimum 4 fois le même chiffre.
Il y a le numéro 0 qui revient le plus souvent.
Personne n’a eu plus de 3 fois le même chiffre.
Le 3 et le 6 reviennent le plus souvent.
Le 4 est à 16 points.
Le 2, il y en a 17.

Et quelques écrits de P5&6 :
L’élève 5 a obtenu les six faces (1-1-1-1-1-1) (ndlr : ce qui veut dire qu’il a obtenu chaque face une fois.).
L’élève 4 a obtenu 3 fois la face 3. L’élève 2 a obtenu 3 fois le deux.
L’élève 3 et l’élève 6 ont sorti les mêmes faces.
3 élèves n’ont pas sorti la face 6.
La face 1 est celle qui revient le plus souvent.
La face 5 est celle qui revient le moins souvent.  

Nous avons déjà évoqué la confusion entre effectif et résultat comme « Il y a le numéro 0 qui revient le plus souvent ». Il y a des constats qualitatifs comme « Le 1 revient beaucoup » ou quantitatifs comme « Le 4 est à 16 points ». Certains relèvent le minimum ou le maximum comme « La face 1 est celle qui revient le plus souvent ».
Les élèves de 2D qui écrivent que « Sam et Tania ont eu la même répartition » ont observé que ce sont les mêmes effectifs qui apparaissent, mais ils ne sont pas dans le même ordre. Par contre en P5&6, à la figure 3, on voit que des élèves ont choisi des couleurs pour regrouper ceux qui ont une même distribution. Sans erreur cette fois…
Y a-t-il eu un commentaire au sujet de cet élève 5 qui illustre qu’en six lancers, on peut avoir les six faces ? Mais que ce n’est pas forcé puisque c’est le seul pour qui cela se vérifie…
La variabilité des résultats d’un élève à l’autre n’est pas perçue par les élèves. Faut-il s’en étonner ?
Que fait l’enseignant de tout cela, comment gère-t-il ces affirmations et comment pousse-t-il le groupe à un certain nombre de clarifications et d’émergence d’éléments de synthèse ? Noter chaque affirmation au tableau et la faire commenter par les élèves est une solution. Encore faut-il s’arrêter à temps et ne pas perdre la motivation des élèves.

4. Pour le tableau, il suffit d’ajouter une ligne au grand tableau qui reprend les résultats de chaque élève.
Pour ce qui est du graphique, tout dépend de l’expérience des élèves dans le domaine. En 2D, tous les graphiques sont faits de la même manière probablement à la suite des indications de l’enseignante. Celui de la figure 4 comporte une petite erreur d’inattention dans la graduation de l’axe des ordonnées.

Fig. 4

En P5&6, certains élèves ont fait un graphique cartésien comme on peut le voir à la figure 5, ce qui donne l’occasion de s’interroger sur le sens que cela a de relier les points. Par ailleurs des questions se sont posées également sur le choix des axes, leur orientation et la graduation.

Fig. 5

5.1 Nous avons repris en tableaux les réponses des élèves de primaire.

Aucun évènement ne fait l’unanimité ? Chacun interprète à sa façon les chances des évènements cités ? C’est l’objet d’un débat fructueux sur « l’impossible » et le « peu probable », le « certain » et le « fort probable ».
Il faut parfois accepter plusieurs réponses possibles. Particulièrement pour des évènements subjectifs comme « Je regarderai la télévision ce soir ». Il est par contre étonnant de voir que beaucoup de garçons imaginent qu’un enfant qui va naitre sera un garçon », c’est fort probable. Certains évènements pourraient être mis à l’épreuve statistique en recourant à des sites comme Stabel et d’autres : le soleil s’est-il levé tous les jours en Belgique ces 20 dernières années ? Quelle est la proportion de garçons qui naissent en Belgique depuis 20 ans ?
Certains élèves placent tous les évènements aux petits traits verticaux auxquels sont attachées les affirmations « impossible, peu probable, assez probable, fort improbable et certain ». Mais en 2D, certains élèves ont pris la liberté de placer leurs évènements entre les traits.

5.2 Dans la version des consignes testées en classe, la deuxième ligne de probabilité concernant les lancers de dés ne portait aucune mention et les élèves ont naturellement repris celles de la première ligne. Dans la nouvelle version, nous avons gradué la ligne en pourcentages de chances.
Les réponses en tableaux.

À nouveau, l’appréciation varie fort d’un élève à l’autre. Qu’aurait-il fallu mettre en place pour que les élèves puissent répondre avec une meilleure connaissance du sujet ? Partir des effectifs observés, mais il aurait fallu un effectif total beaucoup plus important ? Partir de considérations sur les chances à priori de chaque face du dé ? Dans certaines classes, ce type de considérations peut venir naturellement.
Certaines affirmations comme « Obtenir 6 en 3 lancers » sont trop compliquées à évaluer pour les élèves de ces classes.
En P5&6, les élèves sont généreux pour les affirmations A, B et même C. Cela pose la question de savoir comment est compris « assez probable » ? Pas sûr que la perception soit « autant de chances que cela arrive, que de chances que cela n’arrive pas ». « Obtenir 1 » est un évènement ajouté et il est jugé peu probable par une majorité, ce qui est assez logique. Mais pourquoi, n’est-ce pas la même chose pour 6 ?
6. Érits d’élèves de 2D :
Il y a plus d’élèves dans la classe 2.
Ils ont plus de lancers.
Sur 120 lancers, la face 6 tombe 17 fois et la face 4 tombe 25 fois.
Entre la classe 1 et la classe 2, la face 6 est de 5 écarts pour les deux classes.
Dans la classe 1, il y a moins de lancers « dans la face 1 » et il y a plus de points « dans la face 4 » que dans la classe 2.
Dans la classe 2, il y a 29 fois « dans la face 5 ».
Dans la classe 2, la face 4 et 6 ont le (même) nombre de points.
Dans les deux classes, il y a 5 élèves d’écart, mais 30 points de différence.
Dans notre classe, on a un total de 84 points.
Dans la 2e classe le 4 et le 6 ont le même nombre.
Et la première classe, le 4 et le 6 ont 8 points de différence.
Dans notre classe, les points ressemblent à la classe 2.
Certains constats comme « Sur 120 lancers, la face 6 tombe 17 fois et la face 4 tombe 25 fois » décrivent fidèlement la situation. D’autres comme « Entre la classe 1 et la classe 2, la face 6 est de 5 écarts pour les deux classes » sont à la fois vrais (si on considère les écarts absolus) et faux (si on considère les écarts relatifs).
Difficile d’apprécier quels éléments ont permis à certains élèves d’affirmer que « Dans notre classe, les points ressemblent à la classe 2 ».
Le but est de comprendre que les effectifs, en soi, n’ont pas beaucoup de signification lorsqu’on veut comparer plusieurs échantillons de tailles différentes. Il faut probablement « pousser un peu » les élèves pour qu’ils s’en rendent compte… Tant le concept de fréquence que son calcul posent problème. La proposition de Virginie Daspremont est de passer par « un tableau comme celui ci-dessous afin de donner plus de sens… Ou une feuille de route en annexe pour qu’ils puissent effectuer les transformations : écrire en français, en fractions, transformer en %, noter la fréquence et son opération ». 

2022-09-19 11:40:18