De briques et de pavés

Certaines activités, en amenant d’autres de fil en aiguille, permettent une exploration systématique, alliant représentations graphiques et symbolisation dans la recherche.

Dans un jeu mathématique travaillant la reproduction de formes complexes à l’aide d’un quadrillage, il était question de réparer un pont à l’aide de briques plutôt particulières, des polygones irréguliers.

Certains élèves de cette classe verticale (de la quatrième à la sixième primaire) avaient été fort surpris par le fait qu’il soit possible de remplir toute la feuille et même de continuer en débordant avec une telle forme… De cet étonnement a émergé la question de la reproductibilité avec n’importe quelle forme. Une recherche rapide avec d’autres formes construites par les enfants sur une trame quadrillée (toutes polygones) montra que non. Mais alors, comment faire pour trouver d’autres formes pour lesquelles ce sera possible ? Il doit bien y en avoir… Il ne peut pas y avoir que celle-là !

Des activités menées les années précédentes avaient permis de couvrir une feuille avec des formes régulières comme les carrés, rectangles, triangles, losanges et même des combinaisons de ces formes « simples »^[1]Un matériel comme les blocs Attrimath ou le logiciel Apprenti Géomètre (dont il est question dans l’article de Nicolas Rouche Du carton, des ciseaux, du scotch… ou un ordinateur ? de … Continue reading. Mais là, il s’agissait de trouver de nouvelles formes « compliquées »… Les recherches empiriques partent d’une forme simple, par exemple le rectangle, que l’on « déforme » un peu.

Les enfants perçoivent intuitivement que « quand ça rentre quelque part, de l’autre côté, ça doit sortir de la même façon », « pour faire comme un puzzle ». Nous obtenons des formes intéressantes, pour lesquelles cela fonctionne, et que l’on peut rendre plus complexes tant que l’on respecte la règle intuitive fixée plus haut.

Intéressant… Mais cela ne satisfait pas les plus acharnés car « on voit bien que ça va marcher ! Dans l’autre (les « briques » du pont), on ne voyait pas que ça pouvait faire un puzzle, il fallait chercher ! »

Nouveau point de départ

Il s’agira cette fois d’une activité plus dirigée. À vos crayons et ciseaux !

– Dans du papier (quadrillé), préparer un rectangle (par exemple de 6×8 cm).

– Choisir un point près du centre du rectangle, et à partir de ce point, tracer quatre lignes (droites, courbes, brisées ou un joyeux mélange de tout cela), partant du point choisi et rejoignant chacune un côté différent (mais pas leurs angles), sans jamais se croiser entre elles.

– Colorier les quatre angles droits (figure 2) Cela nous servira de point de repère.

– Découper le rectangle en quatre morceaux, en suivant les lignes tracées.

– Composer une forme avec ces quatre morceaux, en regroupant ensemble en son centre les quatre angles droits coloriés (toujours visibles) de l’ex rectangle (figure 3). Coller légèrement les quatre morceaux avec du papier collant.

– Avec la nouvelle forme obtenue, tenter de paver le plan.

Si cela ne fonctionne pas (et si ça fonctionne aussi), essayer une autre combinaison des quatre morceaux du rectangle, en respectant toujours la règle des quatre angles droits coloriés au centre.

Ensuite, on cherche, chaque élève avec son propre jeu de formes originales, provenant de rectangles identiques : de combien de façons différentes peut-on combiner les quatre morceaux ? Combien, parmi ces combinaisons, permettront-elles de paver le plan ? Comment être certain que la liste est complète ? Ici des procédures dessinées (un dessin pour chaque combinaison) ou symbolisées (avec les lettres par exemple) sont produites. Certains élèves éprouvent des difficultés avec des séquences identiques mais ayant subi une rotation. Ainsi, si l’on se donne pour convention de décrire une figure en partant du coin supérieur gauche, dans le sens horlogique, A-B-C-D et C-D-A-B constituent en fait une même combinaison.

C’est peut-être plus évident si on utilise cette représentation, dans laquelle la forme des morceaux n’apparaît plus :


Cependant, à ce stade, certains élèves éprouvent des difficultés « Mais mon dessin n’est pas le même [que le sien] ! » et, pour eux, la séquence A-B-C-D n’est pas considérée comme un modèle permettant de parler à la fois de chaque forme et de toutes les formes respectant cet ordre d’agencement. Afficher et noter au tableau les trois représentations simultanément (les formes réelles découpées, la représentation en carré, la séquence de lettres seules), pour plusieurs découpages du rectangle, aide à franchir ce cap.

Ce travail de modélisation dans la recherche des solutions constitue bien un des nœuds de cette activité. Heureusement, le nombre des combinaisons n’est pas trop élevé^[2]Êtes-vous certain(e) de vouloir lire la solution plutôt que de la chercher ? Bon… Il y a six combinaisons différentes des quatre morceaux de rectangles et deux seulement parmi elles paveront … Continue reading.

Les formes se sont à présent complexifiées ; l’indice de satisfaction augmente. Si pour la figure 4, on peut imaginer encore assez facilement le puzzle, ce n’est pas évident par contre dans le cas de la figure 5, car des rotations de la figure seront nécessaires pour paver le plan.

Pour illustrer, observez ces quelques travaux d’élèves.

Et, tiens ! ? Je n’ai même pas pensé à faire rechercher le dessin des briques du pont dans leur rectangle de départ. Au fond, y’a moyen ?