Ouvrez n’importe quel ouvrage de mathématiques et vous verrez que c’est essentiellement du texte écrit dans la langue de l’auteur ou dans une langue scientifique comme le latin à une époque, l’anglais actuellement. Mais, vous y verrez aussi des symboles et des figures qui prennent plus ou moins d’importance selon les pages.
Attardons-nous d’abord au sens des mots. Dans la théorie mathématique déductive, il se construit exclusivement en amont du premier usage, en prenant un sens univoque précisé par une ou plusieurs définitions, un ou plusieurs axiomes. D’aucuns, parmi les enseignants de tous âges, défendent l’orthodoxie des définitions et du sens étroit des mots.
« Dans la tête du mathématicien qui travaille ou dans celle de l’élève qui apprend, le sens des mots est plus large, parfois polysémique. »
Mais, dans la tête du mathématicien qui travaille ou dans celle de l’élève qui apprend, le sens est plus large, parfois polysémique et, comme dans tout texte littéraire, se construit autant en aval qu’en amont de son apparition dans l’écrit. Le sens s’élargit encore au cours de plongées contextuelles diverses. Pensez à ce qu’évoque fraction, par exemple. Une portion dans un partage équitable d’un objet, d’une grandeur. Un rapport qui compte pour le développement de votre bicycle ou la vitesse de votre essoreuse à salade, un quotient de deux nombres entiers, une division. Pensez à ce qu’évoque rectangle. Une figure géométrique qu’on peut approcher par ses angles, ses côtés, ses droites particulières comme les diagonales ou les médianes. Une figure inscriptible à un cercle. Pensez aux triangles du même nom, à l’angle droit, à Pythagore…
Des symboles
Des écritures comme « 1,618 », « 7/23 », « a2– b2=(a+b)(a-b) », ne vous disent rien si vous n’avez pas appris ce qu’elles veulent dire ou si vous l’avez oublié. La première exprime peut-être une quantité, un prix, une divine proportion, une section dorée, la solution d’une équation algébrique de degré deux…. Sa lecture passe par une bonne compréhension d’un système de numération positionnelle de base dix. La dernière exprime peut-être que la différence des carrés de deux nombres réels quelconques pris dans un certain ordre, est égale au produit de leur somme et de leur différence dans le même ordre.
Le symbolisme s’est très fortement développé dans les mathématiques des trois derniers siècles. Il a permis de grands raccourcis d’écriture. Pour l’esprit averti, quelques lignes peuvent remplacer une page. Le symbolisme est censé rendre un écrit plus clair, plus sobre et automatiser certaines opérations. Pour l’esprit averti, cela permet de libérer la pensée pour lui permettre d’embrasser plus de choses à la fois.
Mais, l’esprit n’est pas averti en un jour. Cela s’apprend :
- en appréhendant les expressions mathématiques dans différents contextes pour leur donner du sens ;
- en faisant expliciter les symboles par des mots jusqu’à ce qu’ils soient bien compris sans tomber trop vite dans l’automatisme ;
- en évitant la symbolisation exacerbée ;
- en faisant écrire et lire des phrases complètes et cohérentes plutôt que des symboles isolés et des formules nues.
Des graphiques
Suivant le domaine mathématique travaillé, les figures varient. Concentrons-nous sur deux grandes catégories : les graphiques et les figures géométriques. La lecture des premiers qui sont utilisés notamment dans le traitement de données participe à l’éveil citoyen. Pour bien les lire, il faut apprendre à les construire en passant par le choix du bon type de graphique (cartésien, en bâtonnets, histogramme, circulaire…), et à déjouer tous les pièges qu’ils recèlent. Dans un article, accessible sur la toile, nous avons relevé dix points de vigilance. Par exemple, être attentif aux échelles et à l’origine des axes pour les graphiques en bâtonnets et les graphiques cartésiens. Ou pour les graphiques circulaires, s’assurer que le total des fréquences qui apparaissent soit bien égal à 100 % et que chaque angle de secteur angulaire soit proportionnel à la fréquence qu’il représente.
Ce travail de construction et de lecture de graphiques prend réellement son sens si on s’intéresse à des enjeux de société comme les résultats scolaires de la classe et de l’école, les revenus des Belges, le CO2 par pays et au cours du temps, les résultats électoraux, les taux de participation à une grève, l’immigration, le Lotto, les tables de mortalité, etc.
Des figures géométriques
Quand on regarde la figure 1, on ne peut pas vraiment dire de quoi il s’agit sans avoir des précisions textuelles et sans connaitre les codes d’interprétation.
Dans certains manuels scolaires, on écrit « le cube de la figure 1 » ou « le solide de la figure » en vous laissant deviner qu’il s’agit d’un cube. Or, il n’y a pas plus de cubes dans le TRACeS que vous tenez en main que de pipes dans la célèbre toile de Magritte. Il peut s’agir de la représentation plane d’un cube et le parallélogramme ABCG représente un carré. Ou c’est une représentation plane d’un parallélépipède en perspective axonométrique ou celle d’un autre solide en perspective classique. À moins que ce ne soit tout simplement la représentation d’un hexagone régulier divisé en trois parallélogrammes isométriques.
Que ce soit pour interpréter une figure plane ou une représentation plane d’un solide spatial, en plus de la connaissance des codes de lecture, il faut que le texte dans lequel s’insère la figure précise ce que la figure représente. Par exemple :
- « à la figure 1, on a représenté un hexagone régulier ABCDEF et son centre G est relié par des segments aux sommets A, C et E » ;
- « à la figure 1, on a représenté un cube opaque en perspective isométrique, trois faces sont visibles ».
À l’image des graphiques trompeurs, certaines figures géométriques sont fallacieuses… La figure 2 montre un triangle rectangle dont on peut calculer l’aire : 10,5 x 6,5 x ½ = 34,125 cm2. Il est divisé en 1 carré dont l’aire est 16 cm2 et deux triangles dont les aires sont : 6,5 x 4 x ½ = 13 cm2 et 4 x 2,5 x ½ = 5 cm2. La somme des trois pièces vaut moins que celle du triangle : 16 + 13 + 5 = 34 cm2. En classe, c’est l’occasion d’un débat.
Des textes
En mathématiques comme ailleurs, les activités menées en classe débouchent sur des écrits dont la double fonction est de structurer la pensée et de garder des traces du travail effectué. Au fil des activités, les pans de savoir constitués sont coulés en textes, rédigés suivant les règles de la langue française (celle de notre Fédération Wallonie-Bruxelles), et servent d’appui pour les apprentissages ultérieurs. On peut imaginer que les synthèses théoriques accumulées en cours de cursus scolaire suivent l’élève dans tout son parcours plutôt que prendre, en fin d’année scolaire, le chemin de l’archivage ou des poubelles quand il s’agit de notes personnelles, de la revente quand il s’agit de manuels.
Lire un texte mathématique, c’est :
- comprendre le sens des mots communs, des mots mathématiques et des phrases ;
- déchiffrer des chiffres, des lettres minuscules, majuscules, françaises et grecques, des symboles particuliers (+,x, /…) des indices et des exposants, des expressions analytiques ;
- décoder des graphiques, des figures géométriques, des diagrammes, des schémas.
En mathématiques comme ailleurs, la lecture s’apprend…
