Pourquoi ne ferait-on que reproduire des procédures et appliquer des recettes, mais pas résoudre de vrais problèmes ni chercher alors que c’est ce que font les mathématiciens ? Et pourquoi ne pas faire raconter aux élèves leurs recherches pour apprendre à comprendre un énoncé, à articuler leurs idées, à construire des raisonnements et à exprimer leur pensée ?
D’une part, l’élève relate toutes les étapes de son travail, de la lecture de l’énoncé à sa conclusion, aussi bien ses idées, ses trouvailles, que ses doutes, ses hésitations, ses fausses pistes et ses erreurs. Il précise encore ses aides éventuelles et ses sources d’inspiration, qu’elles soient humaines, bibliographiques ou virtuelles. Il n’y a pas d’obligation de résolution du problème mathématique posé. D’autre part, l’enseignant s’engage à faire porter son évaluation sur ces divers aspects sans privilégier la solution.
Pour exprimer une pensée mathématique, on se sert de sa langue. Pour argumenter, on utilise des mots. Pour prouver, on déplie une suite de phrases imbriquées selon les règles logiques (l’hygiène du mathématicien) en utilisant beaucoup de mots liens. Et pour produire du raisonnement mathématique, il y a une recherche qui elle aussi s’exprime dans la langue vernaculaire.
« Une narration de recherche est l’exposé détaillé, écrit par l’élève lui-même, de la suite des activités qu’il met en œuvre lors de la recherche des solutions d’un problème de mathématiques. » Il s’agit pour l’élève de chercher certes, mais aussi de décrire son travail et de donner ses impressions sur celui-ci.
Il y a donc deux parties dans la narration de recherche : la recherche et le récit qui en est fait.
En quatrième primaire…
Une illustration montre le gros Dédé et le chien Boudin sur une balance (140 kg), le gros Dédé et le petit Francis (145 kg), le petit Francis et le chien Boudin (35 kg).
« En utilisant les informations données par ces trois dessins, détermine combien pèsent le gros Dédé, le petit Francis et le chien Boudin. »
- « Je pense que Boudin pèse 10 kg. Alors Francis pèse 25 kg, le garçon est plus lourd que le chien et 10 + 25 = 35 kg. Dédé doit peser… Non, ce n’est pas possible, car 140 – 10 = 130 et 145 – 25 = 120 et il faut que ce soit égal. »
- « C’est difficile pour un élève de primaire. Mais, je pense que Dédé est le plus gros, que Boudin est le plus mince et que Francis est entre les deux. »
- « Je vois déjà que quand Boudin est sur la balance, le poids total est de 140 kg, alors que quand c’est Francis qui est dessus, le poids égale 145 kg. Alors, déjà, je sais que le petit garçon pèse 5 kg de plus que le chien. »
En deuxième secondaire…
Si j’ai un point, je peux tracer au maximum zéro segment.
Si j’ai deux points, je peux tracer au maximum un segment.
Si j’ai trois points, je peux tracer au maximum trois segments.
Si j’ai quatre points, combien de segments puis-je tracer ?
Et si j’ai cinq points ? Six ? Sept ? Douze ? Vingt ? Cent-huit ?
- « Pour 4, 5 et 6 points, j’ai dessiné sur la feuille de brouillon. Pour 7 points, j’ai regardé chaque point un après l’autre. Du premier point A, il part 6 segments. De B, il en part 5… De G, il en part 0. J’ai fait de même pour 12 points, pour 20 et même pour 108 points… »
- « J’ai remarqué… Il faut regarder le schéma, car c’est trop dur à expliquer avec des mots. (Il y a deux dessins avec 6 et 7 points en utilisant plusieurs couleurs.) Donc, pour 20 points :
20 segments de contour
+ 20-3 =17
+ 20-4 =16
…
+ 20-20 =0
Au total, en n’oubliant pas les 20 segments du contour : 190 segments. »
« Ce qui est intrigant, c’est que les autres devoirs je les trouvais en 20 minutes et celui-là je ne trouve rien alors que d’autres n’ont rien trouvé aux autres et m’ont dit avoir trouver la réponse à celui-là. »
En sixième année secondaire…
Considérez la suite
Pour quelles valeurs de a strictement positives, cette suite converge-t-elle (c’est-à dire tend vers une valeur) ?
- « J’ai consulté quelqu’un qui s’y connait dans le domaine et il n’avait jamais entendu parler de ce problème. Puis, j’ai fait une recherche internet et je n’ai rien trouvé. Si, au moins, je connaissais le titre du problème ou le nom d’un mathématicien qui l’a traité… »
- « J’ai d’abord fait des essais avec des valeurs particulières.
Pour a=1:1,1,1,1…
Pour a=2:2,4,16,65536…
Pour a=0,5:0,5,≈0,707,≈0,613,≈0,654… Après plusieurs essais de ce type, il semble que la valeur a = 1 soit une valeur charnière. »
« Comme on l’a fait régulièrement au cours pour l’étude des suites, j’ai étudié la fonction de récurrence f(x)=ax. J’ai fait le graphique avec géogébra en introduisant un paramètre. J’ai regardé dans quels cas le graphique coupe l’axe y = x. On sait qu’il s’agit d’une condition nécessaire de convergence, non suffisante, mais nécessaire… »
Balises
La narration est un contrat qui engage les élèves à raconter au mieux toutes les étapes de leur recherche, à joindre éventuellement leurs brouillons, à préciser les aides éventuelles, à expliquer comment leur sont venues de nouvelles idées. Et elle engage l’enseignant à s’intéresser aux démarches, aux stratégies et aux chemins empruntés par les élèves sans donner la priorité à la solution. Par ailleurs, pour les problèmes adressés aux jeunes de fin secondaire, il n’y a pas toujours de solution ou, en tous cas, pas de solution unique.
La démarche narrative n’est pas immédiate. Elle peut engendrer du scepticisme, de la crainte, voir des inhibitions. Mais, ceux qui la pratiquent dans leurs classes observent qu’au deuxième ou troisième exercice de ce type, un véritable engouement des élèves se manifeste. Et, au-delà des erreurs de syntaxe et d’orthographe, on peut être frappé par une remarquable lucidité des enfants et des jeunes sur leurs démarches de pensée.
Il faut une question suffisamment ouverte, un bon problème (on ne le saura qu’après l’avoir testé), suffisamment difficile, mais pas trop compliqué au point de provoquer le rejet, le dégout ou le découragement. La réponse ne peut être donnée dans l’énoncé, il faut donc éviter des formulations du type « démontrer que… » L’énoncé doit encore être relativement succinct et vite compris, susciter l’intérêt, provoquer l’activité et engendrer des démarches riches et variées. Et il faut être attentif aux difficultés que crée l’habillage. Si la solution est trop évidente ou obtenue en quelques clics, il n’y aura pas de recherche et donc, pas de récit.
Même si l’objectif d’une narration n’est pas d’aboutir à des textes bien léchés et irréprochables d’un point de vue formel, cela peut être un bon exercice pour les élèves — pour peu que cela fasse l’objet d’un travail spécifique en classe — quant à l’usage :
- d’une syntaxe et d’un vocabulaire adapté ;
- d’expressions usuelles dans ce type de récit ;
- de lexiques spécifiques utiles à ces productions ;
- des mots liens, des connecteurs ;
- des verbes et des temps qui rendent le texte vivant ;
- des moyens d’articulation et de structuration de l’écrit.
La narration de recherche peut être une fin en soi ou rebondir à un débat au sein de la classe. Selon des modalités variables : en jetant en pâture des solutions erronées, incomplètes ou des réponses abouties, cohérentes, ou les deux. En analysant des démarches pour en déceler forces et faiblesses. En poussant à la preuve de propositions formulées par les élèves.
