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La somme des angles d’un triangle vaut 100 degrés

En mathématiques, on démontre tout… Ou presque… Les propriétés découlent les unes des autres et chacune d’entre elles se démontre à partir des précédentes. Tout fonctionne comme une belle mécanique bien huilée.


— Et ça part d’où ?
— Comment ça, ça part d’où ?
— Ben oui, tout s’enchaine, mais il y a bien un début.
On justifie chaque nouvelle proposition à partir de la précédente, mais la première, elle se justifie comment ?
— Ah pour cela il y a des axiomes. Ils précèdent et permettent de démontrer tous les théorèmes d’une théorie (appelée axiomatique pour cette raison).
— Comment sont démontrés les axiomes ?
— Ils ne sont pas démontrés, ce sont des vérités qui sont admises sans preuve.
— Tu es en train de me dire qu’en mathématiques, tout est justifié à partir de postulats qui sont admis sans démonstration.
— Euh, oui… Postulat, c’est le bon terme.
— Tu as un petit exemple ?
— Bien sûr, je peux te présenter le cinquième postulat d’Euclide, vieux barbu grec qui a 2300 ans.
— Je t’écoute.
— « Si une droite tombant sur deux droites fait des angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. » (Figure 1)
On connait mieux ce postulat sous la forme suivante : « Par un point du plan, on peut mener une seule droite parallèle à une droite donnée. » Ce qui permet de montrer que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
— Et alors ?
— Et alors, Euclide démontre les 28 premières propriétés de sa théorie sans utiliser ce postulat et il a comme un doute, une hésitation sur le statut d’axiome de son postulat.
— Mais encore ?
— Mais encore ? Il va transmettre le gène du doute à des dizaines de mathématiciens durant deux millénaires.
— Oui bon, arrête de tourner autour du triangle et de me faire lanterner avec des problèmes existentiels de mathématiciens.
— Oh, y pas le feu, j’ai fait tout un weekend à Saint-Roch Ferrières pour développer ma rupture.
— Ta rupture ? C’est nouveau, tiens ça.
— Après des siècles et des siècles de tentatives infructueuses pour démontrer ce fameux postulat, des mathématiciens vont, comment dire : l’abandonner, le contourner, le renier… Et au bout du compte…
— Et merde, tu m’avais promis du concret !
— Le postulat va garder son statut d’axiome indémontrable, mais sa négation va déboucher sur de nouvelles géométries… Et je te concrétise la chose de suite. Écoute-moi bien.
— Prenons le plan euclidien habituel, « coupons-le » en deux parties par une droite que nous nommerons h (figure 2). Choisissons un des demi-plans π déterminé par cette droite, la droite h n’appartenant pas au demi-plan.
— Dans ce demi-plan (appelé demi-plan de Poincaré), on décide que les droites sont les demi-droites (au sens euclidien) perpendiculaires à h (au sens euclidien) et les demi-cercles (au sens euclidien) dont le centre appartient à h. À la figure 2, on a représenté cinq droites a, b, c, d, e.
— Tu appelles ça des droites ?
— Pourquoi cela te choque ? Tu sais ce que c’est une droite ?
— Ben… Euh… Un ensemble infini de points alignés ?
— Tu dis bien un ensemble infini de points qui sont sur une droite. Donc a, b, c, d et e sont bien des droites. Les droites c et e sont sécantes. Tout comme les droites d et e. Par contre, les droites b et c sont parallèles (les points de h ne font pas partie du demi-plan… Tout comme les droites c et d.
— Oufti !
— Et dans cet univers, par un point passe une infinité de droites parallèles à une droite donnée et je peux même dessiner un triangle [IJK sur la figure 3] dont la somme des angles vaut 100°.
— Ouh lala, toi t’essayes de m’embrouiller et « de me la mettre bien profond ».
— Il s’agit d’une rupture paradigmatique…
— Encore cette histoire de rupture… Soigne-toi mon gaillard… T’en fais pas, « Une de perdue, dix de retrouvées ».
— Hé oh ! Je suis sérieux. Dans cette nouvelle géométrie, le cinquième postulat d’Euclide n’est pas vrai et de nombreux résultats de la géométrie euclidienne habituelle ne sont pas vérifiés. Par exemple, le fait que la somme des angles d’un triangle vaut toujours 180°.
— J’abandonne, je n’essaye plus de comprendre. Dismoi plutôt ce que cela a à voir avec des jeunes à qui tu es quand même censé apprendre des mathématiques solides et non des élucubrations de matheux en mal de sensations fortes.
— Bon, ben…
— Accouche mon gaillard ! Du concret !
— Quand on fait de la géométrie avec des jeunes et qu’on leur demande de prouver un résultat, il n’est pas rare de les entendre dire : « Mais enfin, c’est évident, ça se voit ! » Et ils n’ont pas tort.
— Ah, si même un prof de math l’admet…
— Quand on les plonge dans une nouvelle géométrie qui est non euclidienne parce que le cinquième postulat d’Euclide n’est pas vérifié, les certitudes vacillent, la réflexion commence. Il faut expérimenter, conjecturer puis essayer de prouver.
— Encore du blabla…
— Ne sois pas de mauvaise foi. Revenons au demiplan de Poincaré. Que vaut la somme des angles d’un triangle ?
— 100° tu l’as montré !
— Pour déterminer l’angle entre deux côtés, on mène les tangentes aux demi-cercles [faut-il rappeler que ce sont des demi-cercles en géométrie euclidienne, mais des droites dans le demi-plan de Poincaré]. On peut faire plusieurs essais… Mais dessiner tout cela prend du temps. On peut avoir recours à un logiciel comme Géogébra. On représente trois droites (déterminées chaque fois par deux points sur la droite h (bord du « Les certitudes vacillent, la réflexion commence. » demi-plan). On fait tracer les tangentes aux points IJK (figure 3), on fait calculer les angles, leur somme et c’est parti ! On peut faire varier les droites en faisant bouger les points de départ. On observe… La somme des angles varie strictement entre 0° et 180°.
— Et la preuve ?
— Comment, c’est toi qui réclame une preuve maintenant ? Ce n’est pas évident ! Il faut considérer des cas limites, adopter une approche dynamique. On modifie un paramètre à la fois et on regarde comment évolue le triangle…
— Mouais…
— Tu veux connaitre la morale de l’histoire ?
— Ah oui, faisons un peu de morale, cela va me reposer l’esprit. Tu veux me reparler de ta rupture ?
— Prenons le point de vue historique avec un grand H comme humanité. Après vingt siècles de recherches, après avoir usé des vies de mathématiciens, le cinquième postulat va déboucher sur un changement de paradigme en géométrie. Des mathématiciens comme Gauss, Lobatchevski, Bolyai vont élaborer, dans un souci purement et exclusivement mathématique, des géométries différentes. Elles s’avèreront utiles (relativité générale, théories de l’univers, par exemple) plus tard.
— Au point de vue de l’histoire de l’élève avec un petit h (rien à voir avec l’horizon du demi-plan), ce travail permet de provoquer, d’introduire le doute, de rendre nécessaire l’argumentation, de faire de la géométrie, des mathématiques et de les faire au sens propre.
— T’inquiète pas, elle reviendra…

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