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Le plus grand produit

Compter sans dormir

[1]D’après un idée d’Ermel (Équipe de didactique des mathématiques de l’INRP), Vrai ? Faux ?… On en débat ! De l’argumentation vers la preuve en mathématiques au cycle 3, … Continue reading

Une décomposition additive de 13, c’est par exemple 4+5+2+1+1.

Si on fait le produit des termes de cette décomposition, on obtient 4X5X2X1X1=40.

En choisissant une autre décomposition additive, on obtient un autre produit.

Cherchez parmi les décompositions additives d’un nombre, celle dont le produit des termes est le plus grand.

Recherche pour les lecteurs d’Echec à l’échec

Vous avez démarré au quart de tour à la lecture de la question. Vous avez une solution qui vous parait complète ou vous avez des éléments sérieux de solution : rendez-vous à la section suivante.

Vous n’avez pas cherché du tout : retournez au début de l’article.

Vous n’avez absolument rien trouvé après trois heures de dur labeur : on peut vous proposer des pistes.

Est-il intéressant de faire apparaitre des 0 et des 1 dans la décomposition ? À une étape donnée, que se passe-t-il au niveau du produit si on décompose un nombre en deux nombres plus petits ? Comment décomposer 6 pour être optimal ? (Prouvez évidemment toutes vos affirmations.)

Avec des enfants de 5ème primaire[2]L’expérience a été menée par Ermel avec des enfants de CM2.

L’expérience est menée avec peu de nombres (pour que les élèves puissent se décentrer des calculs) situés dans un champ numérique limité (à 20 ou 25) car les produits deviennent vite grands et les calculs seraient hasardeux au delà.

Les objectifs spécifiques de la démarche sont :

  • émettre des hypothèses,
  • formuler précisément des propositions pour pouvoir en débattre,
  • prouver une proposition.

-1 La première phase consiste en une recherche individuelle pour 10 puis 14 (et éventuellement 16). Ensuite vient l’analyse des solutions produites en prenant dans l’ordre les décompositions additives :

    • erronées (celles dont la somme des termes est différente du nombre donné au départ),
    • les moins pertinentes (p. ex., pour 10 : 2X2X2X2X2),
    • les meilleures (sans se prononcer sur le fait qu’il s’agit bien du plus grand produit).

À la fin de la première phase, des constats peuvent être formulés (ex. : ” utiliser 1 ne sert à rien“).

-2 Deuxième phase consiste, pour les élèves à chercher une méthode plus générale. Cette phase se déroule un autre jour et se décompose en cinq étapes.

-2.1. Étape 1

Les élèves élaborent individuellement des propositions (et les formulent par écrit). Exemples : Pour former le plus grand produit…

  • il faut décomposer le nombre,
  • prendre des petits nombres,
  • prendre la moitié,
  • prendre des nombres de 2 à 4,

-2.2. Étape 2

Les propositions sont débattues collectivement. Le maitre fait un tri préalable en quatre catégories :

  • celles qui n’apportent pas d’information sur la méthode (ex. : ” il faut faire des calculs “),
  • celles qui sont trop ambigües (ex. : ” il faut prendre des petits nombres “),
  • celles dont la preuve semble pouvoir être établie rapidement lors d’un débat (ex. : ” mettre 1 dans le produit cela ne sert à rien “),
  • celles pour lesquelles il estime, à priori, qu’il n’y aura pas de certitude sur un accord sur leur valeur de vérité.

Suit alors un débat général sur les différents types de propositions, puis un débat plus particulier sur une proposition de la 3e catégorie (ex. : certains ont dit que pour trouver le plus grand produit, il suffisait de prendre la moitié d’un nombre quand c’était un nombre pair).

-2.3. Étape 3

Les élèves ont à se prononcer, par petits groupes, sur des propositions (de la 4e catégorie) qui n’ont pu être tranchées lors de l’étape précédente (ex. : pour obtenir le plus grand produit, il faut prendre 3 ou 4).

-2.4. Étape 4

Mise en commun pour expliciter les conclusions de chaque groupe.

-2.5. Étape 5

Une relance de la recherche peut être effectuée.

Retour au lecteur

Vous en avez trop lu au sens de ” vous mourez d’envie de refaire une recherche, personnelle ou entre adultes, puis de tester dans une classe “. Vous en avez trop peu lu dans le sens ” il faudrait plus de détails et des réactions d’élèves “. Alors ne vous privez pas et lisez éventuellement plus dans l’ouvrage mentionné en note.

L’éveil à la démonstration passe par le travail de la preuve, et l’apprentissage de la preuve passe par le débat.

Notes de bas de page

Notes de bas de page
1 D’après un idée d’Ermel (Équipe de didactique des mathématiques de l’INRP), Vrai ? Faux ?… On en débat ! De l’argumentation vers la preuve en mathématiques au cycle 3, Institut National de Recherche Pédagogique, Paris, 1999.
2 L’expérience a été menée par Ermel avec des enfants de CM2.