Les mathématiques dans le qualifiant, il faut les faire et il faut que ça serve. Les élèves les font-ils vraiment ? À qui vont-elles servir ? À quoi ? Elles doivent être utiles pour la vie et pour le métier. Quelle vie ?
Il y a des mathématiques qu’on peut qualifier « de la vie concrète ». Un exemple numérique : une augmentation de 10 % est suivie d’une diminution de 10 % ? Finalement, on n’a rien perdu… C’est faux. Un exemple géométrique : avant de monter une serre, il faut vérifier que la base est rectangulaire et, pour ce faire, le constructeur vous indique de bien vérifier l’égalité des diagonales. C’est un moyen de vérification qui vous fera courir longtemps autour des quatre piquets qui déterminent les sommets (c’est du vécu) et non un moyen de construction. Mais Pythagore vous donne la solution.
Il y a des mathématiques de l’humaniste. Vous lisez dans le journal que les prix baissent, mais que la tendance est à la hausse. Qu’est-ce que cela veut dire, c’est contradictoire ? Les cartes Peters respectent les aires. Comment est-ce possible ? De quel type de projection s’agit-il ?
Il y a des mathématiques du spécialiste. Un problème de menuisier : « Je possède un escalier d’une hauteur de 2.80 m et d’une longueur au sol de 3.00. Hauteur d’une marche 20 cm, longueur 20 cm. Quelle doit être la longueur minimale de ma trémie (ouverture au plafond) pour qu’un individu de 1.80 m ne se cogne pas la tête sans se baisser. » Un problème d’économiste : il faut optimiser un ensemble de variables sous contraintes et cela passe par un système d’équations et le calcul matriciel.
Il y a des mathématiques du mathématicien. La somme des angles du triangle représenté à la figure 1 vaut 270°.
Last but not least
Il y a enfin les mathématiques du citoyen que nous avons gardées pour la fin et la faim.
Les graphiques des figures 2 et 3 (ci-dessous) montrent l’indice des problèmes sociaux et de santé en fonction, d’une part, du revenu national brut par personne et d’autre part, de l’indice d’inégalité. Ce dernier mesure le rapport des revenus des 20 % les plus riches aux revenus des 20 % les plus pauvres. L’indice de santé et de problèmes sociaux se base sur les données de 10 paramètres : confiance, maladie mentale, espérance de vie, mortalité infantile, obésité, performances scolaires, homicides, emprisonnement, mobilité sociale, parentalité adolescente.
Question ouverte : quelles conclusions peut-on tirer de la lecture de ces graphiques ?
Fermeture progressive de la question :
– comment sont distribués les points sur chacun des deux graphiques ?
– la santé et le bienêtre social dépendent-ils de la richesse d’un pays ou de l’inégalité des revenus dans un pays ?
– comment tracer au mieux une droite qui traverse le nuage de points du graphique de la figure 3 ? Tracez-en une. Quelle est son équation ?
– quel critère prendre en compte pour juger qu’une droite représente bien ou non un nuage de points ?
– comment savoir quand une droite est susceptible de représenter un nuage de points comme à la figure 3, et quand il n’y en a pas comme à la figure 2 ?
And before
On ne peut traiter une question comme celle qui nous permet d’illustrer les mathématiques citoyennes sans avoir travaillé longuement les graphiques au préalable. Il faut comprendre le sens de variables, d’axes et d’échelles qui les représentent. Il faut apprendre à placer des points et à l’inverse, pouvoir retrouver les valeurs qui y sont associées. Il faut pouvoir interpréter correctement les lignes qui relient éventuellement les points. Cet apprentissage s’inscrit dans la durée et commence en maternelle. Un exemple simple : en arrivant le matin chaque fille ajoute une brique (une grosse brique) verte fluo sur la pile qui monte au fur et à mesure que les enfants arrivent et chaque garçon ajoute sa brique orange fluo sur une autre pile. On demande ensuite de représenter les deux piles.
Ceux qui nous informent nous roulent dans la farine, régulièrement, en toute conscience ou de façon involontaire. Et pour apprendre à déjouer les pièges, il faut se faire piéger. Le graphique de la figure 4 vous montre comment les Indiens et les Chinois nous asphyxient au CO2. Vous y croyez ?
L’after
Revenons-en à l’exemple principal de notre cheminement. Qu’on parle de droite de régression ou des moindres carrés, de corrélation entre l’indice de bien-être et l’indice d’inégalité, peu importe. Le problème peut se traiter à des degrés mathématiques très divers. La recherche de formules peut s’avérer absconse et/ou peu productive, mais on peut faire un premier travail à la latte et au crayon.
Sur la figure 3, on peut tracer une droite qui passe par les points (3 ; -1,2) et (9 ; 1,5). On calcule sa pente en faisant le rapport de l’écart des ordonnées sur l’écart des abscisses et on a 2,7/6 = 0,45. L’équation de la droite est y=0,45x-2,55. Est-ce la meilleure ? Pour cela, il faut prendre en compte les écarts entre les points de la réalité et ceux du modèle de la droite (tableau 1).
Pour rendre tous les écarts positifs, on considère les carrés. Avec un tableur, on peut déterminer la somme des carrés des écarts, puis chercher à la minimiser. Ce qui est un moyen de faire voir ce qui se passe, de faire beaucoup de calculs sans forcer et sans erreurs et d’apprendre à utiliser ce type de logiciel.
Par ailleurs, le logiciel calcule également cette meilleure droite, celle de régression linéaire ou des moindres carrés. Dans le cas présent, il donne y’’ = 0.44x 2.45.
Les mathématiques citoyennes sont les mathématiques prioritaires pour tous. Et s’il ne doit y avoir que peu de mathématiques dans un cursus scolaire, ce sont celles-là qui doivent y être. Où, ailleurs qu’à l’école, un jeune pourra-t-il acquérir des outils d’analyse de l’information ? Comment un adulte pourra-t-il mener une vie digne sans être capable de décrypter et de critiquer l’information qu’il reçoit ?
