Partisan indécrottable de l’auto-socio-construction du savoir, j’ai basé mon enseignement sur un enchainement de problèmes. Souvent au mépris de synthèses théoriques solides, au prétexte que la meilleure assise des connaissances acquises était le réinvestissement dans un nouveau problème où la valeur instrumentale des concepts déjà développés pourrait se faire voir.
Imaginez les premières heures d’un cours de géométrie en première année secondaire. On demande aux élèves de plier une feuille de papier blanche. Puis :
- sur une des deux faces de la feuille pliée, dessine une figure simple à la latte et/ou à l’équerre.
- Découpe cette figure en traversant les deux épaisseurs avec des ciseaux.
- Déplie puis avec une latte et une équerre, reproduis sur une autre feuille blanche, le(s) pli(s) et les motifs obtenus.
Il faut ensuite reprendre une nouvelle feuille et la plier une première fois comme pour la question précédente, et une deuxième fois en superposant les deux parties du pli. Puis reprendre les trois consignes précédentes.
Enchainer les problèmes
Amener les élèves au terme de la tâche qu’ils commencent seuls puis poursuivent en groupe, demande une bonne circulation de l’enseignant dans la classe et beaucoup d’attention pour donner un coup de pouce en cas de panne sèche, éveiller l’élève par une question s’il fait une sortie de route, relancer un processus quand cela patine… Voir chacun suivre son dessein et aboutir à un dessin, c’est déjà une grande satisfaction pour le maitre, et le sentiment que le contrat est rempli, que l’élève a compris puisqu’il a accompli le travail et qu’il n’y a pas grand-chose à ajouter. Si ce n’est enchainer avec un autre problème…
Par exemple dans une situation de miroir. À partir d’un point situé à 2 cm du bord d’une feuille A4 blanche sur la table, trace deux segments suffisamment grands (figure 2). Place ensuite un miroir perpendiculairement à la table pour obtenir une figure fermée, formée des deux segments et de leur reflet dans le miroir.
- Quelles sont les figures que l’on peut obtenir ?
- Dessine précisément (avec les instruments adéquats) quelques-unes des figures obtenues, surtout les plus particulières.
- Peut-on obtenir un triangle rectangle ? Modifie le tracé des deux segments, si tu le juges nécessaire.
- Combien de segments (au minimum), ne partant plus forcément d’un même point, faudrait-il dessiner pour pouvoir compléter, à l’aide d’un miroir (toujours perpendiculaire à la feuille), la figure en un rectangle ? En un parallélogramme ? En un trapèze ? En un carré ?
Synthétiser, théoriser
Mais avant de s’attaquer à un autre problème, il n’est peut-être pas inutile de s’attarder à la tâche effectuée et au résultat. Pour faire verbaliser ce qui a été fait, donner un nom à certain objets mathématiques (point, droite, segment, symétrique, symétrie orthogonale…) et certaines opérations (mesurer, mener une perpendiculaire, reporter une distance…), s’assurer que chaque élève a une trace écrite solide, questionner les incompréhensions, argumenter les affirmations.
« La synthèse théorique qui suit l’activité, c’est un travail complexe. »
Plus encore, que verbaliser, nommer et questionner, il n’est certainement pas vain de couler une part du travail opéré en éléments de théorie. Comment caractérise-t-on les points, les droites, les segments, les angles et les perpendiculaires ? Comment caractérise-t-on une symétrie orthogonale, un axe de symétrie, une symétrie centrale, un centre de symétrie. Qu’est-ce qu’un invariant, que donne la composée de deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires ?
La synthèse théorique qui suit l’activité, c’est un travail complexe, car il s’agit :
- De la rédiger en français correct, mais dans un langage accessible aux élèves en évitant les erreurs mathématiques, avec la difficulté qu’il y a parfois à simplifier un langage par nature abstrait. La théorie peut être incomplète, mais pas fausse.
- D’utiliser les productions et les apports des élèves qui comprennent vite s’ils sont mis hors course et se désintéressent du sujet quand leurs apports ne sont pas pris en compte.
- De compléter les découvertes de la classe par des éléments apportés parce que l’analyse épistémologique préalable les a rendus incontournables.
- D’articuler ce pan de théorie avec ce qui suit ou ce qui précède et donner une vie autonome à la théorie.
- De maintenir la classe en éveil pour un travail qui n’est pas la partie la plus enthousiasmante du boulot.
