L’ivrogne a encore bu

Les professeurs de math ont généralement pour habitude de réclamer l’homogénéité des classes auxquelles ils enseignent. Pourtant, la moindre activité de recherche fait éclater cette belle homogénéité.

Nous partirons d’un exemple pour étayer notre propos. Après avoir lu l’énoncé, réfléchissez-y avant de poursuivre la lecture.
En quittant un café de la ville de New York^[1]Autant couper court aux ragots directement, le titre de cet article n’a aucun rapport avec l’auteur., à chaque carrefour (figure 1), un ivrogne joue à pile ou face. Si c’est face, il va vers l’ouest ; si c’est pile, il va vers le nord. Il ne prend jamais les directions est et sud. Quelles sont ses chances de rentrer à la maison ?

Que trouvez-vous ? Discutez de votre solution avec votre entourage.

En classe

Les pistes de réflexion empruntées sont assez variées, certains débouchent sur des solutions en une dizaine de minutes tandis que d’autres piétinent presque toute l’heure. Une idée qui fait avancer la recherche est celle qui consiste à penser aux chemins possibles entre le café et la maison. On peut essayer de les représenter (figure 2)… Mais il faut encore les trouver tous.

Pour cela, il est utile de systématiser la recherche de ces chemins. Premier chemin (figure 3) : OOONN (ce qui signifie qu’on a pris 3 fois vers l’ouest puis 2 fois vers le nord). Deuxième chemin : OONON. Et ainsi de suite…

Est-on sûr de les avoir tous ? Et si la maison était loin du café, le travail deviendrait vite fastidieux. Une autre façon de penser est de s’intéresser aux carrefours et de comptabiliser le nombre de chemins qui y mènent en les envisageant de proche en proche, en partant du café. Pour chaque carrefour, il suffit de voir d’où on peut venir (figure 4) et d’additionner…

Il y a donc dix chemins qui mènent du café à la maison. Mais pour calculer la probabilité de rentrer, il faudrait connaître tous les chemins possibles, les bons (déjà comptabilisés) et les mauvais. Revenons aux bons chemins, on peut constater que pour chacun d’entre eux, il a fallu faire un choix à cinq carrefours, c’est-à-dire lancer la pièce 5 fois. Comme il y a deux choix à chaque carrefour, il y a en tout 2x2x2x2x2 possibilités ou 32 chemins. En supposant que la pièce est bien équilibrée et qu’il y une chance sur deux qu’elle retombe sur « face » et une chance sur deux qu’elle retombe sur « pile », on peut considérer que tous les chemins sont équiprobables. La probabilité pour l’ivrogne de rentrer chez lui est donc de 10/32.

Avec un peu de pratique mathématique, on peut aboutir plus rapidement au comptage des bons chemins. On peut caractériser chaque chemin par une suite de cinq lettres comme on l’a fait ci-dessus. On constate que chacune des suites caractérisant un bon chemin est composée de 3 « O » et 2 « N ». Autrement dit, pour aller du café à la maison, quel que soit le chemin pris, il a fallu prendre 3 fois à droite et 2 fois à gauche. Il reste juste à savoir quelles sont les possibilités que l’on a d’organiser ces suites. Pour chaque chemin, il suffit de choisir la place des 3 « O » parmi les cinq places de la suite (ou la place des 2 « N », cela revient au même). Ou encore, choisir trois places parmi 5 pour placer les « O ». Et cela nous est donné par les combinaisons simples^[2]Nous ne développerons pas ce que sont les combinaisons simples de n éléments pris p à p dans le cadre de cet article. Nous voulions seulement évoquer l’existence de cette solution. de 5 éléments pris 3 à 3 dont on connaît la valeur :

Des groupes de niveaux

Les différences de réactions, de traitement et de temps mis pour aboutir à des solutions, pour le petit problème évoqué ci-avant montrent combien l’hétérogénéité est un phénomène naturel même au sein d’un groupe qu’on a voulu homogène. Face à une vraie pratique mathématique, l’homogénéité est vraisemblablement un leurre.

Il y a dix ans, l’enseignement des mathématiques était bien hiérarchisé. Deux niveaux (4 et 6 heures/semaine) dans le deuxième degré de l’enseignement secondaire de transition. Trois niveaux (3, 5 et 7 heures) dans le troisième degré de l’enseignement secondaire de transition sans compter les compléments et extensions possibles (à deux heures généralement) et les cours du samedi dans certains cas (pour la préparation à l’examen d’admission en sciences appliquées). Et en dessous de cela, des cours « adaptés au public » en qualification et en professionnel.

On a supprimé les niveaux au deuxième degré et on est passé de 3 à 2 niveaux au troisième degré de l’enseignement de transition. Mais un grand nombre de profs de math demandent encore le retour au système antérieur. L’argument est celui d’une élite moins performante qu’avant.

« La tendance majeure qui se dégage de l’ensemble des études considérées, c’est que l’effet des classes de niveau en termes d’efficacité moyenne est proche de zéro. »^[3]Vincent Dupriez et Hugues Draelants, Classes homogènes versus classes hétérogènes : les apports de la recherche à l’analyse de la problématique, in Cahier de recherche du Girsef n°24, … Continue reading Et on peut ajouter de manière statistiquement significative, qu’en milieu naturel, « les élèves faibles sont pénalisés par les classes de niveau tandis que les élèves plus avancés en sortent bénéficiaires »^[4] Idem.

Les profs de math soucieux de l’élite n’ont donc pas tort de vouloir plus d’homogénéité. Les autres se trompent. Il reste que si l’hétérogénéité est profitable aux plus faibles, il faut encore la gérer. Les périodes de recherche permettent à tous de progresser, chacun à son rythme. Il faut être exigeant de la même manière avec tous dans le travail. Il faut pousser chacun au bout de lui-même. Mais il faut être tolérant quant au niveau acquis. Car, si tous sont capables… de progresser. Tous n’arrivent pas au même résultat au même moment.