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Et si x était utile…

Quand il est question de mettre en boite… L’activité que je vais vous présenter a été proposée à des élèves de troisième année générale. 

Chaque élève reçoit un rectangle de 20 cm de long et de 15 cm de large avec la consigne suivante : 
Découper un même carré dans chacun des coins de la feuille. Plier et coller afin d’obtenir une boite ouverte. 
L’élève qui obtient la boite de plus grand volume remporte le concours.
Tous les élèves se mettent en activité. C’est déjà un exploit, car, en cette année particulière, certains d’entre eux sont en décrochage sévère. Ils peuvent collaborer par deux. Seul Lucas se dit qu’il n’a pas besoin de s’y mettre. Il a déjà résolu l’équation : «Toutes les boites auront le même volume comme on a le même rectangle!»

Lyam a commencé par construire de très petits carrés puis a changé de stratégie.
Diego a opté pour de très petits carrés pour que la surface soit la plus grande possible.

Après une dizaine de minutes, voici, avant collage, quelques-unes des boites obtenues.

Volumes

L’heure du classement arrive. Les élèves éprouvent des difficultés pour calculer le volume de leur boite. La mise en commun des résultats s’effectue comme suit :

C’est alors qu’un élève me dit qu’il a coupé des carrés de 2,9 cm de côté. Il a observé le tableau et se dit qu’en proposant 2,9 cm, il devrait gagner le concours. Les autres élèves ne veulent pas que sa proposition soit prise en considération. «Il n’a pas fait des carrés de 2,9 cm de côté. C’est de la triche.» Dommage pour lui, c’était bien raisonné et bien tenté… J’en profite pour leur demander si cette découpe de 2,9 cm lui permettrait de gagner ou si une autre découpe serait meilleure.

Je leur rappelle alors que le matheux, quand il est à la recherche d’un nombre, a souvent l’habitude de mettre une lettre à la place de ce nombre. Le fameux «x».

Imaginons que je découpe des carrés de côté «x».

Trois figures

Le volume de la boite peut alors s’écrire : 

J’encode cette formule dans le logiciel de géométrie dynamique Géogébra. Je leur explique que le programme a calculé toutes les possibilités et même certaines impossibilités et qu’il nous affiche le résultat de ses calculs par un graphique. Ce dernier est projeté au tableau :

Le logiciel possède une fonction appelée extremums. Je lui demande donc de nous communiquer les coordonnées du maximum. La solution est ainsi obtenue presque sans calculs. La découpe optimale est d’environ 2,83 cm. Le volume étant alors approximativement égal à 379,04 cm³. La solution exacte pourrait être déterminée algébriquement, mais les outils nécessaires ne sont pas abordés en troisième année. Il faudra encore quelques années et quelques cours, considérés par beaucoup comme inutiles, avant d’être capables de résoudre ce problème et de pouvoir en déterminer la solution exacte (tableau de signe, dérivées, résolution d’une équation du deuxième degré par la méthode du discriminant…).

Je leur explique que le chapitre que nous allons maintenant aborder s’intitule «approche graphique d’une fonction». Des débats sont lancés et les notions que nous allons travailler plus tard sont abordées : sommet d’une fonction, zéros de la fonction, ensemble des découpes (im)possibles, ensemble des volumes (im)possibles, découpes qui donnent un volume nul, lien avec la règle du produit nul…

Avantages et inconvénients

L’élève manipule et entre en activité. Le contexte et son utilisation lors du débat permettent de donner du sens au chapitre des polynômes, au chapitre de la factorisation, au chapitre «approche graphique d’une fonction», à la distributivité, à la lettre x. L’élève se familiarise également avec les outils numériques. L’idéal serait de lui apprendre à utiliser Géogébra et de lui proposer des activités qu’il peut résoudre grâce à son utilisation et à la recherche des éléments caractéristiques d’une fonction.

Mais la familiarisation aux outils numériques demande du temps et des moyens. L’élève ne peut, sans connaissance du logiciel, résoudre seul cette situation problème.

Quelques réactions d’élèves…

Beaucoup ont apprécié manipuler, partir d’une bête feuille et faire une boite. Certains trouvent que ça change des cours habituels, que c’était cool. On a appris qu’on pouvait obtenir plusieurs volumes à partir d’un même rectangle. Et puis il y a l’ordi qui calcule tout et qui fait des graphiques. Mais certains n’ont pas apprécié et n’ont pas compris comment on arrivait au résultat.

«C’était intéressant, car on apprend à rechercher la meilleure mesure parmi toutes les possibilités afin d’en récupérer le plus grand volume même si c’était difficile.»

«Tout le monde a fait au pif, je ne sais pas si c’était le but.»

«C’est chouette de réfléchir en groupe.»

«Les maths, c’est plus compliqué que je ne croyais. Il faut beaucoup de patience et voir beaucoup de choses avant d’y arriver.»

«J’espère venir vous retrouver en 6e année pour vous montrer que j’ai réussi à résoudre ce problème.»